数学一

高等数学

欧拉方程

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一、定位信息

项目	内容
编号	MATH-CAL-57
章节	第八章 · 常微分方程 · 第6单元
知识层级	拔高拓展
考试频率	★★☆（偶尔出现，但一旦出现区分度高）
关联单元	MATH-CAL-55（二阶常系数齐次方程）、MATH-CAL-56（非齐次方程）

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二、知识点讲解

2.1 欧拉方程的定义

定义：形如

$\boxed{x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} xy' + a_n y = f(x)}$

的微分方程称为欧拉方程（Euler equation），其中 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 为常数，$f(x)$ 为已知函数。

特征：未知函数的各阶导数的系数分别是 $x$ 的幂次，$y^{(k)}$ 的系数为 $a_{n-k}x^k$（或等价地，$x^k y^{(k)}$ 前面的系数为常数）。

二阶欧拉方程的标准形式为：

$x^2 y'' + axy' + by = f(x)$

这是考研中最常考的形式。

2.2 求解方法：自变量替换法

核心思想：通过自变量替换 $x = e^t$（即 $t = \ln x$，设 $x > 0$），将欧拉方程转化为常系数线性微分方程。

推导过程（二阶情形）：

设 $x = e^t$，$t = \ln x$，记 $D = \dfrac{d}{dt}$。

一阶导数的变换：

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$

即：

$xy' = \frac{dy}{dt} = Dy$

二阶导数的变换：

$y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right) = -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right)$

$= -\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right)$

即：

$x^2 y'' = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} = D(D-1)y$

变换规则总结：

原方程中的项	替换后的形式
$xy'$	$Dy = \dfrac{dy}{dt}$
$x^2 y''$	$D(D-1)y = \dfrac{d^2y}{dt^2} - \dfrac{dy}{dt}$
$x^3 y'''$	$D(D-1)(D-2)y$
$x^k y^{(k)}$	$D(D-1)\cdots(D-k+1)y$

一般规则：

$x^k y^{(k)} = D(D-1)(D-2)\cdots(D-k+1)\,y$

其中 $D = \dfrac{d}{dt}$。

2.3 二阶欧拉方程的求解步骤

对于 $x^2 y'' + axy' + by = f(x)$：

1. 做替换 $x = e^t$，将方程转化为关于 $t$ 的常系数方程：

$D(D-1)y + aDy + by = f(e^t)$

$\frac{d^2y}{dt^2} + (a-1)\frac{dy}{dt} + by = f(e^t)$

2. 求常系数方程的通解：用特征方程法（齐次）+ 待定系数法（非齐次）。

3. 代回原变量：将 $t = \ln x$ 代入，得到关于 $x$ 的解。

2.4 当 $x < 0$ 时的处理

当 $x < 0$ 时，令 $x = -e^t$，$t = \ln(-x)$，变换规则完全相同。最终结果中将 $\ln x$ 替换为 $\ln|x|$ 即可。

2.5 欧拉方程与常系数方程的对比

对比项	常系数方程	欧拉方程
标准形式	$y'' + py' + qy = f(x)$	$x^2y'' + axy' + by = f(x)$
系数特点	常数系数	系数含 $x$ 的幂次
求解方法	特征方程法	替换 $x = e^t$ 化为常系数方程
特征方程	$r^2 + pr + q = 0$	$r(r-1) + ar + b = 0$，即 $r^2 + (a-1)r + b = 0$
齐次解形式	$e^{r_1 x}, e^{r_2 x}$ 等	$x^{r_1}, x^{r_2}$ 等

关键联系：欧拉方程经 $x = e^t$ 替换后，$e^{rt}$ 对应 $x^r$。因此欧拉方程齐次解可以直接用"试探解 $y = x^r$"来求：

设 $y = x^r$，代入 $x^2y'' + axy' + by = 0$：

$x^2 \cdot r(r-1)x^{r-2} + ax \cdot rx^{r-1} + bx^r = 0$

$[r(r-1) + ar + b]x^r = 0$

因为 $x^r \neq 0$，得欧拉方程的特征方程：

$\boxed{r^2 + (a-1)r + b = 0}$

三种情况的通解：

特征根	通解形式
$r_1 \neq r_2$（实根）	$y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}$
$r_1 = r_2 = r$（重根）	$y = (C_1 + C_2 \ln
$r = \alpha \pm \beta i$（复根）	$y = x^{\alpha}[C_1\cos(\beta\ln

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三、记忆辅助

1. 口诀"$x^k y^{(k)}$ 换成 $D(D-1)\cdots(D-k+1)$"：这是欧拉方程替换的核心规则，$k$ 阶导数对应 $k$ 个连续递减因子的乘积。

2. 试探解法口诀"令 $y = x^r$，照搬系数"：对于齐次欧拉方程，直接令 $y = x^r$ 代入，得到的关于 $r$ 的方程就是特征方程，比先替换再求特征方程更快。

3. 齐次解对照表：记住欧拉方程的解是 $x^r$（幂函数），而常系数方程的解是 $e^{rx}$（指数函数）。替换 $x = e^t$ 将两者联系起来：$e^{rt} = (e^t)^r = x^r$。

4. $\ln|x|$ 的来源：重根时需要 $\ln|x|$，复根时需要 $\cos(\beta\ln|x|)$ 和 $\sin(\beta\ln|x|)$，这与常系数方程中重根需要 $x$、复根需要 $\cos\beta x$ 和 $\sin\beta x$ 类比。

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四、例题精解

例题1：二阶齐次欧拉方程

题目：求微分方程 $x^2 y'' - xy' + y = 0$（$x > 0$）的通解。

第一步：令 $y = x^r$ 试探

$y' = rx^{r-1}$，$y'' = r(r-1)x^{r-2}$。

第二步：代入方程

$x^2 \cdot r(r-1)x^{r-2} - x \cdot rx^{r-1} + x^r = 0$

$[r(r-1) - r + 1]x^r = 0$

$r^2 - 2r + 1 = 0$

第三步：求特征根

$(r-1)^2 = 0$，$r_1 = r_2 = 1$（重根）。

第四步：写出通解

重根情况，通解为：

$\boxed{y = (C_1 + C_2 \ln x)\,x}$

验证：$y = C_1 x + C_2 x\ln x$。

$y' = C_1 + C_2(\ln x + 1)$，$y'' = \dfrac{C_2}{x}$。

$x^2 y'' - xy' + y = C_2 x - x[C_1 + C_2\ln x + C_2] + C_1 x + C_2 x\ln x$$= C_2 x - C_1 x - C_2 x\ln x - C_2 x + C_1 x + C_2 x\ln x = 0$。✓

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例题2：二阶非齐次欧拉方程

题目：求微分方程 $x^2 y'' + xy' - y = x$（$x > 0$）的通解。

第一步：求齐次通解

令 $y = x^r$，代入 $x^2y'' + xy' - y = 0$：

$[r(r-1) + r - 1]x^r = 0$

$r^2 - 1 = 0, \quad r = \pm 1$

齐次通解：$Y = C_1 x + C_2 x^{-1} = C_1 x + \dfrac{C_2}{x}$。

第二步：做自变量替换 $x = e^t$

$x^2y'' + xy' - y = x$ 变换为：

$D(D-1)y + Dy - y = e^t$

$\dfrac{d^2y}{dt^2} + (0-1+1)\dfrac{dy}{dt} + (-1)y = e^t$ （其中 $a = 1$，$b = -1$）

即 $\dfrac{d^2y}{dt^2} - y = e^t$。

第三步：用待定系数法求特解

特征方程 $r^2 - 1 = 0$，$r = \pm 1$。$f(t) = e^t$，$\lambda = 1$ 是单特征根。

特解形式：$y^* = Ate^t$。

$(y^*)' = A(t+1)e^t$，$(y^*)'' = A(t+2)e^t$。

代入 $y'' - y = e^t$：

$A(t+2)e^t - Ate^t = 2Ae^t = e^t$，$A = \dfrac{1}{2}$。

$y^* = \dfrac{t}{2}e^t$。

第四步：代回原变量

$t = \ln x$，$e^t = x$，通解为：

$y = C_1 x + \frac{C_2}{x} + \frac{x\ln x}{2}$

$\boxed{y = C_1 x + \frac{C_2}{x} + \frac{x\ln x}{2}}$

验证特解部分：$y_p = \dfrac{x\ln x}{2}$，$y_p' = \dfrac{\ln x + 1}{2}$，$y_p'' = \dfrac{1}{2x}$。

$x^2 y_p'' + xy_p' - y_p = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x(\ln x + 1)}{2} - \dfrac{x\ln x}{2} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x$。✓

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五、考情分析

考查维度	说明
题型分布	填空题或解答题，通常为独立小题
分值	4-8分
难度	★★★☆（需要掌握替换技巧，计算量适中）
命题趋势	不是每年都考，但属于数学一特有的考查内容（数学二、三不要求）；一旦出现，往往是拉分题
核心要求	快速识别欧拉方程，熟练使用 $y = x^r$ 试探法或 $x = e^t$ 替换法

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六、易错点

1. 特征方程写错：欧拉方程的特征方程是 $r^2 + (a-1)r + b = 0$，不是 $r^2 + ar + b = 0$。注意 $x^2y''$ 对应 $r(r-1)$ 而非 $r^2$，所以中间项是 $a-1$ 而非 $a$。

2. 忘记 $x > 0$ 的限制：替换 $x = e^t$ 要求 $x > 0$。若题目未限定 $x$ 的范围，需考虑 $x < 0$ 的情况（令 $x = -e^t$），最终用 $\ln|x|$ 表示。

3. 非齐次方程替换后 $f(x)$ 未变换：$f(x)$ 中的 $x$ 要替换为 $e^t$。例如 $f(x) = x$ 变为 $f(e^t) = e^t$，$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 变为 $e^{-t}$。

4. 复根情况 $\ln|x|$ 遗漏：复根 $r = \alpha \pm \beta i$ 时，通解为 $x^{\alpha}[C_1\cos(\beta\ln|x|) + C_2\sin(\beta\ln|x|)]$，不要忘记 $\ln|x|$ 中的绝对值。

5. 与常系数方程混淆：欧拉方程的解是 $x^r$（幂函数），不是 $e^{rx}$（指数函数）。虽然两者通过 $x = e^t$ 联系，但最终答案必须用 $x$ 表示。

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七、来源标注

来源	说明
教材	同济大学《高等数学》第七版 第七章 §7.9（或 §7.10，视版本而定）
考试大纲	2025年全国硕士研究生入学考试数学一考试大纲 · 高等数学 · 欧拉方程（仅数学一要求）
补充	欧拉方程为数学一独有考点，数学二、三不要求