MATH-PRO-16 随机变量的独立性

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第三章 多维随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-16
前置知识	MATH-PRO-15（边缘与条件分布）
后续关联	MATH-PRO-18（两个随机变量函数的分布）
考试地位	核心概念，独立性假设贯穿全书
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 两个随机变量独立的定义

定义：设 $F(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布函数，$F_X(x)$、$F_Y(y)$ 分别为边缘分布函数。若对一切 $x, y$：

$\boxed{F(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)}$

则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

等价条件：

• 离散型：$p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$ 对一切 $i, j$ 成立
• 连续型：$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ 对一切 $x, y$ 几乎处处成立

2. 独立性的判断方法

方法	条件	适用情形
分布函数法	$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$	通用
密度法	$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$	连续型
分布律法	$p_{ij} = p_{i\cdot}p_{\cdot j}$	离散型
支撑区域法	支撑区域为矩形且 $f(x,y)$ 可分离变量	快速判断

3. 支撑区域法（快速判断）

定理：若 $(X,Y)$ 的联合密度 $f(x,y)$ 的支撑区域为矩形区域（即 $a < x < b$，$c < y < d$），且 $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$（可分离变量），则 $X$ 与 $Y$ 独立。

注意：支撑区域不是矩形，则一定不独立！

4. 独立性的应用

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则：

• $P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A) \cdot P(Y \in B)$
• $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$
• $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
• $g(X)$ 与 $h(Y)$ 独立（$g, h$ 为任意函数）

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三、记忆辅助

1. 独立性定义：联合 = 边缘之积——$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$。
2. 支撑区域为矩形：这是独立的必要条件（连续型）。非矩形 → 一定不独立。
3. 可分离变量：$f(x,y) = g(x)h(y)$ 且支撑为矩形 → 独立。
4. 独立 → 方差可加：$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$（独立时）。

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四、例题精解

【例题1】判断独立性

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y) = 2$，$0 < x < 1$，$0 < y < x$。判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解答：

第一步：检查支撑区域

支撑区域：$0 < x < 1$，$0 < y < x$。这不是矩形（是三角形）。

第二步：结论

支撑区域不是矩形，故 $X$ 与 $Y$ 不独立。

第三步：验证

$f_X(x) = 2x$（$0 < x < 1$），$f_Y(y) = 2(1-y)$（$0 < y < 1$）。

$f_X(x) \cdot f_Y(y) = 4x(1-y) \neq 2 = f(x,y)$，确认不独立 ✓。

第四步：补充

即使可分离变量 $f(x,y) = 2 = 2 \cdot 1$，但支撑区域不是矩形，仍不独立。

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【例题2】利用独立性求联合密度

题目：设 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，且 $X, Y$ 独立。求 $(X,Y)$ 的联合密度。

解答：

第一步：写出边缘密度

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, \quad f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$

第二步：利用独立性

$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$

第三步：识别分布

这是二维标准正态分布（独立情形），即 $\mu_1=\mu_2=0$，$\sigma_1=\sigma_2=1$，$\rho=0$ 的二维正态分布。

第四步：验证归一性

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy = 1 \quad ✓$

（利用极坐标变换可证）

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择题	判断两个随机变量是否独立	4分
高频	计算题	利用独立性简化概率计算	4-10分
中频	证明题	独立性的证明	10分

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六、易错点

1. 支撑区域非矩形 → 一定不独立：这是最快的判断方法。
2. 独立 vs 不相关：独立一定不相关，不相关不一定独立（正态分布除外）。
3. 边缘分布相同，独立性不同：同一组边缘分布，联合分布可以不同（独立或不独立）。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第3章 §3.4
大纲	考研数学一大纲"随机变量的独立性"