数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-36：多元复合函数求导（链式法则）

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：偏导数与全微分（MATH-CAL-34）、一元复合函数求导的链式法则。多元复合函数求导是一元链式法则在多元情形下的推广。
• 知识网络定位：本单元是多元微分学的核心计算工具，上承偏导数，下启隐函数求导。几乎所有多元微分的综合题都涉及链式法则。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。链式法则是每年必考的计算工具。

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二、知识点讲解

2.1 链式法则的基本定理

定理（两个中间变量、一个自变量的情形）：

设 $z = f(u,v)$ 可微，$u = \varphi(t)$，$v = \psi(t)$ 可导，则复合函数 $z = f(\varphi(t), \psi(t))$ 对 $t$ 可导，且：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$

证明思路：由 $z = f(u,v)$ 的可微性，$\Delta z = f_u\Delta u + f_v\Delta v + o(\rho)$，两边除以 $\Delta t$ 并取极限。

定理（两个中间变量、两个自变量的情形）：

设 $z = f(u,v)$ 可微，$u = \varphi(x,y)$，$v = \psi(x,y)$ 的偏导数存在，则：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

2.2 链式法则的树形图分析

链式法则的核心是画树形图确定求导路径：

情形一：$z = f(u,v)$，$u = \varphi(t)$，$v = \psi(t)$

z
├── u → t
└── v → t

$z$ 到 $t$ 有两条路径：$z \to u \to t$ 和 $z \to v \to t$。 $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$

情形二：$z = f(u,v)$，$u = \varphi(x,y)$，$v = \psi(x,y)$

z
├── u ─┬→ x
│      └→ y
└── v ─┬→ x
       └→ y

$z$ 到 $x$ 有两条路径：$z \to u \to x$ 和 $z \to v \to x$。

法则：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，沿所有到达 $x$ 的路径，每条路径上的偏导数相乘，再求和。

2.3 全微分形式不变性

无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，全微分公式 $dz = f_u\,du + f_v\,dv$ 的形式不变。

应用：设 $z = f(u,v)$，$u = \varphi(x,y)$，$v = \psi(x,y)$，则

$dz = f_u\,du + f_v\,dv = f_u(\varphi_x\,dx + \varphi_y\,dy) + f_v(\psi_x\,dx + \psi_y\,dy)$

整理后比较 $dx, dy$ 的系数即得 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。这种方法比直接套公式更灵活，不易出错。

2.4 常见复合结构的链式法则

复合结构	求导公式
$z=f(u,v)$，$u=\varphi(t),v=\psi(t)$	$\frac{dz}{dt}=f_u\varphi'+f_v\psi'$
$z=f(u,v)$，$u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$	$\frac{\partial z}{\partial x}=f_u\varphi_x+f_v\psi_x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f_u\varphi_y+f_v\psi_y$
$z=f(x,y,t)$，$x=\varphi(t),y=\psi(t)$	$\frac{dz}{dt}=f_x\varphi'+f_y\psi'+f_t$（注意 $f_t$ 项！）
$z=f(u)$，$u=\varphi(x,y)$	$\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\varphi_x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\varphi_y$

特别注意第三种情形：$f$ 直接依赖于 $t$，树形图中有一条直接路径 $z \to t$，对应 $f_t$ 项。

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三、记忆与理解辅助

1. 链式法则核心口诀："路径求和，沿途相乘"。从因变量到目标自变量，找所有路径，每条路径上的偏导数相乘，再把所有路径的结果相加。

2. 树形图是万能工具：不管多复杂的复合关系，画出树形图就不会出错。树形图的根是因变量，叶子是最终自变量，中间层是中间变量。

3. 全微分形式不变性的优势：直接对 $dz = f_u\,du + f_v\,dv$ 展开 $du, dv$，整理后比较系数，比记忆多个公式更可靠。特别适用于复杂的多层复合。

4. 注意直接依赖项：若 $z = f(x,y,t)$ 且 $x,y$ 也依赖于 $t$，则 $\frac{dz}{dt}$ 中既有间接路径也有直接路径。直接路径贡献 $f_t$ 项，不能遗漏。

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四、例题与精解

例题 1（基础巩固）

命题意图：考查基本的链式法则计算。

设 $z = e^u \sin v$，$u = x^2 + y^2$，$v = xy$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

审题分析：$z$ 是 $u, v$ 的函数，$u, v$ 是 $x, y$ 的函数，属于"两个中间变量、两个自变量"的标准情形。

解题思路：用链式法则公式，或用全微分形式不变性。

完整步骤：

$\frac{\partial z}{\partial u} = e^u \sin v$，$\frac{\partial z}{\partial v} = e^u \cos v$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$，$\frac{\partial v}{\partial x} = y$，$\frac{\partial v}{\partial y} = x$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} = e^u\sin v \cdot 2x + e^u\cos v \cdot y$

代入 $u = x^2+y^2$，$v = xy$：

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2+y^2}(2x\sin(xy) + y\cos(xy))$

同理：

$\frac{\partial z}{\partial y} = e^u\sin v \cdot 2y + e^u\cos v \cdot x = e^{x^2+y^2}(2y\sin(xy) + x\cos(xy))$

方法反思：标准的链式法则计算，关键是正确求出各中间变量的偏导数。可以先保留 $u, v$ 符号计算，最后再代入。

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例题 2（中等提升）

命题意图：考查含直接依赖项的链式法则，以及全微分形式不变性的应用。

设 $z = f(x-y, y-x)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数。求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

审题分析：令 $u = x - y$，$v = y - x$，则 $z = f(u,v)$。注意 $u + v = 0$，即 $v = -u$，这会简化结果。

解题思路：先求一阶偏导数，再求二阶。注意对 $f_u, f_v$ 再次用链式法则。

完整步骤：

令 $u = x - y$，$v = y - x$。$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial u}{\partial y} = -1$，$\frac{\partial v}{\partial x} = -1$，$\frac{\partial v}{\partial y} = 1$。

$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot (-1) = f_u - f_v$

$\frac{\partial z}{\partial y} = f_u \cdot (-1) + f_v \cdot 1 = -f_u + f_v$

现在求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(-f_u + f_v)$：

对 $f_u$ 再用链式法则（$f_u$ 也是 $u, v$ 的函数）：

$\frac{\partial f_u}{\partial x} = f_{uu}\frac{\partial u}{\partial x} + f_{uv}\frac{\partial v}{\partial x} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot (-1) = f_{uu} - f_{uv}$

$\frac{\partial f_v}{\partial x} = f_{vu}\frac{\partial u}{\partial x} + f_{vv}\frac{\partial v}{\partial x} = f_{vu} - f_{vv}$

由克莱罗定理 $f_{uv} = f_{vu}$，所以：

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -(f_{uu} - f_{uv}) + (f_{uv} - f_{vv}) = -f_{uu} + f_{uv} + f_{uv} - f_{vv} = -f_{uu} + 2f_{uv} - f_{vv}$

方法反思：二阶偏导数的计算需要对一阶偏导数（$f_u, f_v$）再次用链式法则。$f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u, v$ 的复合函数，对它们求偏导时要再走一遍链式法则的路径。$f_{uv} = f_{vu}$ 的条件是混合偏导数连续。

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五、考情分析

• 考查频次：近五年每年必考，是最高频的计算考点之一。
• 常见题型：选择题（偏导数表达式判断）、填空题（求一阶或二阶偏导数）、解答题（复合函数求导综合题）。
• 分值占比：约 4–10 分。
• 命题趋势：二阶偏导数计算是难点和热点，常与极值条件（$AC - B^2$）结合考查。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时遗漏某条路径。

   • 错误原因：未画树形图，凭感觉找路径。
   • 正确理解/做法：始终画树形图，从因变量到目标自变量的每条路径都要覆盖。

2. 错误表现：$z = f(x, y, t)$ 且 $x, y$ 依赖 $t$ 时，求 $\frac{dz}{dt}$ 遗漏 $f_t$ 项。

   • 错误原因：只注意到间接路径（$z \to x \to t$ 和 $z \to y \to t$），忽略直接路径 $z \to t$。
   • 正确理解/做法：树形图中 $z$ 有三条路径到达 $t$：$z \to x \to t$、$z \to y \to t$、$z \to t$。

3. 错误表现：求二阶偏导数时，认为 $f_u$ 对 $x$ 的偏导数就是 $f_{uu} \cdot u_x$。

   • 错误原因：遗漏了 $f_u$ 对 $v$ 的依赖路径。
   • 正确理解/做法：$f_u$ 也是 $u, v$ 的函数，$\frac{\partial f_u}{\partial x} = f_{uu}u_x + f_{uv}v_x$，有两条路径。

4. 错误表现：混淆 $f_x$ 与 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

   • 错误原因：在 $z = f(x, y, t)$ 中，$f_x$ 表示 $f$ 对第一个位置变量的偏导数，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示 $z$ 对 $x$ 的总偏导数，两者不同。
   • 正确理解/做法：$f_x$ 是"直接偏导"，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 是"总偏导"（包含直接和间接效应）。

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七、来源标注

• 依据 2026 考研数学一大纲"多元复合函数求导"部分
• 依据大学本科经典教材《高等数学》（同济大学第七版）第九章