MATH-PRO-27 正态总体的抽样分布

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第六章 样本及抽样分布
知识单元编号	MATH-PRO-27
前置知识	MATH-PRO-25（样本与统计量）、MATH-PRO-26（三大分布）
后续关联	MATH-PRO-28~34（参数估计与假设检验）
考试地位	连接概率论与数理统计的桥梁，每年必考
难度等级	★★★★★

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二、知识点讲解

1. 单个正态总体的抽样分布

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差。

定理1：$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

定理2：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。

定理3：$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

关键：定理3中用 $S$（样本标准差）代替 $\sigma$（总体标准差），自由度从 $\infty$ 变为 $n-1$。

2. 两个正态总体的抽样分布

设 $X_1, \ldots, X_{n_1}$ 为来自 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 的样本，$Y_1, \ldots, Y_{n_2}$ 为来自 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的样本，两组样本独立。

定理4：$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$

定理5（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$）：

$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。

定理6：$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

3. 抽样分布公式汇总表

统计量	分布	条件
$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$\sigma$ 已知
$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$\sigma$ 未知
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$\chi^2(n-1)$	—
$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$	$N(0,1)$	$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 已知
$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$	$t(n_1+n_2-2)$	$\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 未知
$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$	$F(n_1-1,n_2-1)$	—

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三、记忆辅助

1. $\bar{X}$ 的分布：$N(\mu, \sigma^2/n)$——"均值的方差是总体方差除以 $n$"。
2. $\chi^2$ 统计量：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$——"自由度是 $n-1$"。
3. $t$ 统计量：$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$——"$\sigma$ 未知用 $S$ 替代，自由度 $n-1$"。
4. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立：正态总体下的重要性质，使 $t$ 分布成立。

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四、例题精解

【例题1】$\chi^2$ 分布的构造

题目：设 $X_1, \ldots, X_{16}$ 为来自 $N(2, 9)$ 的样本，求 $P(S^2 > 12)$。（已知 $\chi^2_{0.05}(15) = 24.996$）

解答：

第一步：构造 $\chi^2$ 统计量

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{15S^2}{9} \sim \chi^2(15)$

第二步：转化事件

$P(S^2 > 12) = P\left(\frac{15S^2}{9} > \frac{15 \times 12}{9}\right) = P(\chi^2 > 20)$

第三步：查表

$\chi^2_{0.05}(15) = 24.996$，$\chi^2_{0.25}(15) \approx 11.041$（需查表）。

$20$ 介于两者之间，$P(\chi^2 > 20) \approx 0.15$（需精确查表）。

第四步：结论

$P(S^2 > 12) = P(\chi^2(15) > 20)$，具体值需查 $\chi^2$ 分布表。

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【例题2】$t$ 分布的构造

题目：设 $X_1, \ldots, X_{20}$ 为来自 $N(\mu, 4)$ 的样本。$T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{20}}$ 服从什么分布？求 $P(|T| > 2.093)$。（已知 $t_{0.025}(19) = 2.093$）

解答：

第一步：确定分布

$\sigma$ 未知，用 $S$ 替代，$T \sim t(n-1) = t(19)$。

第二步：利用对称性

$P(|T| > 2.093) = 2P(T > 2.093)$

第三步：查表

$t_{0.025}(19) = 2.093$，故 $P(T > 2.093) = 0.025$。

第四步：计算

$P(|T| > 2.093) = 2 \times 0.025 = 0.05$

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	解答题	构造服从特定分布的统计量	10-12分
高频	选择/填空	抽样分布的判断	4分
高频	综合	与区间估计、假设检验结合	10-12分

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六、易错点

1. 自由度是 $n-1$ 不是 $n$：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，自由度为 $n-1$。
2. $\sigma$ 已知用 $Z$，$\sigma$ 未知用 $t$：这是选择统计量的关键判据。
3. 两个总体等方差时用 $S_w$：$S_w^2$ 是合并方差，自由度为 $n_1+n_2-2$。
4. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立：仅在正态总体下成立，非正态总体不一定。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第6章 §6.4
大纲	考研数学一大纲"正态总体的抽样分布"