数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-25：定积分的计算方法

---

一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：不定积分的换元法与分部积分法（MATH-CAL-19至MATH-CAL-22）、牛顿-莱布尼茨公式（MATH-CAL-24）。定积分的计算本质上就是先求原函数再代入上下限。
• 知识网络定位：本单元是定积分计算的核心方法论，上承不定积分的计算技巧，下启定积分的各种应用。掌握定积分的计算方法是解决面积、体积等问题的前提。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。定积分的换元法和分部积分法是每年必考内容，选择题、填空题、解答题均有涉及。

---

二、知识点讲解

2.1 牛顿-莱布尼茨公式法

最基本的方法：找到被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$，则

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

此方法的难点在于求原函数，具体技巧见不定积分部分（MATH-CAL-19至MATH-CAL-22）。

2.2 定积分的换元法

定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x = \varphi(t)$ 满足：

1. $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$；
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上具有连续导数；
3. $\varphi(t)$ 的值域不超出 $[a,b]$。

则

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$

条件：$f$ 连续，$\varphi$ 有连续导数，$\varphi$ 的值域含于 $[a,b]$。

结论：定积分换元时，被积函数和积分限同时改变。

证明思路：设 $F$ 是 $f$ 的原函数，则 $F(\varphi(t))$ 是 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ 的原函数。由牛-莱公式：左边 $= F(b)-F(a)$，右边 $= F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha)) = F(b)-F(a)$。

与不定积分换元法的区别：定积分换元后要同时改变积分限，且不必回代原变量。

2.3 定积分的分部积分法

定理：设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

$\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$

即

$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)\Big|_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\,dx$

条件：$u$、$v$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数。

证明思路：由 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边在 $[a,b]$ 上积分即得。

2.4 利用奇偶性和周期性简化计算

奇偶性：若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上可积，则

• 若 $f(x)$ 为偶函数（$f(-x) = f(x)$），则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
• 若 $f(x)$ 为奇函数（$f(-x) = -f(x)$），则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$

周期性：若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则对任意 $a$：

$\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$

即周期函数在一个周期上的积分与起点无关。

证明思路（奇偶性）：$\int_{-a}^a f(x)\,dx = \int_{-a}^0 f(x)\,dx + \int_0^a f(x)\,dx$。对第一个积分令 $x = -t$，得 $\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_0^a f(-t)\,dt$。若 $f$ 为偶函数则 $f(-t) = f(t)$，故等于 $\int_0^a f(t)\,dt$，两部分合并得 $2\int_0^a f(x)\,dx$。

2.5 华里士公式（点火公式）

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$

其中 $n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$（双阶乘），$0!! = 1$，$(-1)!! = 1$。

2.6 定积分的常用递推公式

设 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$，则有递推关系：

$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

推导：利用分部积分，令 $u = \sin^{n-1}x$，$dv = \sin x\,dx$。

---

三、记忆与理解辅助

技巧1：定积分换元 vs 不定积分换元对比

对比项	不定积分换元	定积分换元
积分限	不变	随变量替换改变
回代	必须回代原变量	不必回代，直接计算
验证	求导验证	两端结果应相等
注意事项	注意定义域	注意 $\varphi(t)$ 单调性

技巧2：分部积分的"反对幂指三"口诀

选 $u$ 的优先顺序：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数。排在前面的优先选为 $u$。

技巧3：华里士公式的记忆

"偶数乘 $\frac{\pi}{2}$，奇数不乘；从 $n-1$ 开始连乘隔一个减2，除以从 $n$ 开始连乘隔一个减2"

例如：$\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx = \frac{3!!}{4!!}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

技巧4：对称区间的简化判断流程

遇到 $\int_{-a}^a f(x)\,dx$，先判断 $f(x)$ 的奇偶性：

• 奇函数 → 结果为 $0$
• 偶函数 → $= 2\int_0^a f(x)\,dx$
• 非奇非偶 → 拆分 $f(x) = g(x) + h(x)$（偶+奇），分别处理

---

四、例题与精解

例1（基础——换元法计算定积分）

命题意图：考查定积分换元法的基本操作。

题目：计算 $\int_0^4 \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$。

审题分析：被积函数含 $\sqrt{x}$，直接积分困难，需通过换元去掉根号。

解题思路：令 $t = \sqrt{x}$，即 $x = t^2$。

完整步骤：

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。

当 $x = 0$ 时 $t = 0$；当 $x = 4$ 时 $t = 2$。

$\int_0^4 \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \int_0^2 \frac{2t}{1+t}\,dt = 2\int_0^2 \frac{t}{1+t}\,dt$

$= 2\int_0^2 \frac{(1+t)-1}{1+t}\,dt = 2\int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)\,dt$

$= 2\left[t - \ln(1+t)\right]\Big|_0^2 = 2\left[(2 - \ln 3) - (0 - 0)\right] = 4 - 2\ln 3$

方法反思：定积分换元的三个关键步骤：①令新变量并表示 $dx$；②改变积分限；③计算新变量的定积分。注意不必回代原变量。

---

例2（中等——分部积分与递推）

命题意图：考查分部积分法在定积分中的应用，以及递推思想。

题目：计算 $I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx$ 的递推公式，并求 $I_2$。

审题分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积，适合用分部积分法建立递推关系。

解题思路：令 $u = x^n$，$dv = e^x\,dx$（遵循"反对幂指三"口诀，幂函数优先选为 $u$）。

完整步骤：

令 $u = x^n$，$dv = e^x\,dx$，则 $du = nx^{n-1}\,dx$，$v = e^x$。

$I_n = x^n e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 nx^{n-1}e^x\,dx = e - n\int_0^1 x^{n-1}e^x\,dx = e - nI_{n-1}$

递推公式：$I_n = e - nI_{n-1}$。

基础值：$I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1$。

$I_1 = e - 1 \cdot I_0 = e - (e-1) = 1$

$I_2 = e - 2I_1 = e - 2$

方法反思：分部积分法的递推应用在考研中常见。关键是正确选择 $u$ 和 $dv$，建立递推关系后逐次计算。注意递推方向：$I_n$ 用 $I_{n-1}$ 表示（降阶），而非升阶。

---

五、考情分析

• 考查频次：定积分计算方法在近5年真题中出现约 8-10次（几乎每年必考）。
• 常见题型：填空题（直接计算定积分）、解答题（含参数的定积分、递推公式）、选择题（利用奇偶性简化计算）。
• 分值占比：填空题4-5分，解答题中作为核心计算步骤占10分左右。
• 命题趋势：定积分计算是基本功，难度不大但覆盖面广。近年趋势是将定积分计算与变限积分、微分方程、级数等知识点结合出综合题。华里士公式和递推公式在填空题中高频出现。基于大纲与命题规律推测。

---

六、易错点提醒

易错点1：定积分换元时忘记改变积分限

• 错误表现：令 $t = \sqrt{x}$ 后，积分限仍写 $0$ 到 $4$。
• 错误原因：混淆不定积分换元（不改限）和定积分换元（必须改限）。
• 正确做法：定积分换元时，积分限必须随变量替换而改变。新限 = 原限代入变换关系。

易错点2：换元时忽略单调性要求

• 错误表现：令 $x = t^2$ 将 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx$ 换元，但 $t^2$ 在 $[-1,1]$ 上不单调。
• 错误原因：换元函数 $\varphi(t)$ 在积分区间上应单调（或至少是一一对应的），否则可能导致错误。
• 正确做法：若 $\varphi(t)$ 不单调，需拆分区间使每个子区间上单调，分别换元。

易错点3：分部积分时边界项计算错误

• 错误表现：$uv\big|_a^b$ 只代入上限或只代入下限。
• 错误原因：$uv\big|_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$，必须上下限都代入。
• 正确做法：$uv\big|_a^b$ 表示在 $b$ 处的值减去在 $a$ 处的值，两步都不能省。

易错点4：奇偶性判断时忽略平移

• 错误表现：对 $\int_{-1}^1 (x-1)^2\,dx$ 直接认为被积函数是偶函数。
• 错误原因：$(x-1)^2$ 关于 $x=1$ 对称，不是关于 $x=0$ 对称，不满足 $f(-x) = f(x)$。
• 正确做法：奇偶性是关于原点对称的性质。若函数关于其他点对称，需先平移再判断。

---

七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

---

本知识单元系统介绍了定积分的计算方法，包括换元法、分部积分法以及利用对称性简化计算的技巧。