MATH-PRO-03 概率的定义与性质

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第一章 随机事件和概率
知识单元编号	MATH-PRO-03
前置知识	MATH-PRO-01（样本空间）、MATH-PRO-02（事件运算）
后续关联	MATH-PRO-04（古典概型）、MATH-PRO-05（条件概率）
考试地位	概率论基石，性质是计算工具
难度等级	★★☆☆☆

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二、知识点讲解

1. 概率的统计定义（频率方法）

设在 $n$ 次重复试验中，事件 $A$ 发生了 $n_A$ 次，则称

$f_n(A) = \frac{n_A}{n}$

为事件 $A$ 在这 $n$ 次试验中的频率。

当试验次数 $n$ 很大时，频率 $f_n(A)$ 会在某个常数 $p$ 附近摆动，且 $n$ 越大，摆动幅度越小。这个常数 $p$ 称为事件 $A$ 的概率，记为 $P(A) = p$。

频率具有稳定性（统计规律性），这是概率的客观基础。

2. 概率的公理化定义（柯尔莫哥洛夫公理）

设 $\Omega$ 为样本空间，$\mathscr{F}$ 为事件域，$P$ 是定义在 $\mathscr{F}$ 上的实值函数，满足：

公理1（非负性）：对任意事件 $A \in \mathscr{F}$， $P(A) \geq 0$

公理2（规范性）： $P(\Omega) = 1$

公理3（可列可加性）：对两两互斥的可列个事件 $A_1, A_2, \ldots$（即 $A_iA_j = \varnothing$，$i \neq j$）， $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

则称 $P$ 为概率（或概率测度），$(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 称为概率空间。

3. 概率的基本性质

由三条公理可以推导出以下重要性质：

性质1：$P(\varnothing) = 0$

证明思路：取 $A_1 = \Omega, A_2 = A_3 = \cdots = \varnothing$，由可列可加性得 $P(\Omega) = P(\Omega) + \sum_{i=2}^{\infty} P(\varnothing)$，故 $P(\varnothing) = 0$。

性质2（有限可加性）：若 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$

性质3（对立事件概率）： $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

证明思路：$A \cup \bar{A} = \Omega$，$A\bar{A} = \varnothing$，由性质2得 $P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1$。

性质4（单调性）：若 $A \subset B$，则 $P(A) \leq P(B), \quad P(B - A) = P(B) - P(A)$

性质5（加法公式）： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

推广到三个事件： $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

性质6（一般对立公式）： $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A}\bar{B})$

性质6在"$A \cup B$的概率不好直接算，但 $\bar{A}\bar{B}$ 好算"时特别有用。

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三、记忆辅助

1. 三公理：非负性（≥0）、规范性（全空间=1）、可列可加性（互斥事件概率可加）——"非、规、加"。
2. 加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$——"加了再减重叠"，与集合的容斥原理一致。
3. 对立公式：正面难算算反面，$P(A) = 1 - P(\bar{A})$——"正难则反"。
4. 概率范围：$0 \leq P(A) \leq 1$，概率为0的事件不一定是不可能事件（如连续型随机变量取某一点）。

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四、例题精解

【例题1】利用加法公式求概率

题目：已知 $P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.4$，$P(AB) = 0.2$。求 $P(A \cup B)$ 和 $P(A\bar{B})$。

解答：

第一步：求 $P(A \cup B)$

由加法公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$

第二步：利用分解公式求 $P(A\bar{B})$

由事件分解 $A = AB \cup A\bar{B}$（$AB$ 与 $A\bar{B}$ 互斥），得： $P(A) = P(AB) + P(A\bar{B})$

第三步：代入数值

$P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB) = 0.5 - 0.2 = 0.3$

第四步：验证

$P(A) = P(AB) + P(A\bar{B}) = 0.2 + 0.3 = 0.5$ ✓ $P(B) = P(AB) + P(\bar{A}B) = 0.2 + P(\bar{A}B)$，故 $P(\bar{A}B) = 0.2$$P(A \cup B) = P(A\bar{B}) + P(AB) + P(\bar{A}B) = 0.3 + 0.2 + 0.2 = 0.7$ ✓

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【例题2】利用对立事件求概率

题目：甲、乙两人独立射击同一目标，甲命中率为0.7，乙命中率为0.6。求目标被击中的概率。

解答：

第一步：设事件

设 $A$ = "甲击中目标"，$B$ = "乙击中目标"。目标被击中 = $A \cup B$。

第二步：直接法（加法公式）

需要知道 $P(AB)$，但题目给了"独立"条件（后续知识），$P(AB) = P(A)P(B) = 0.42$。 $P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.42 = 0.88$

第三步：对立事件法（验证）

目标被击中的对立事件 = "甲乙都没击中" = $\bar{A}\bar{B}$。 $P(\bar{A}\bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - 0.12 = 0.88$

第四步：结论

目标被击中的概率为 $0.88$。两种方法结果一致 ✓。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择题	概率性质的判断（互斥事件概率关系）	4分
高频	计算题	加法公式的应用	4-10分
基础	公式推导	概率性质的证明	—

命题规律：

• 加法公式是概率计算的核心工具，几乎每年必用。
• "正难则反"思想在选择题中频繁出现。
• 概率为0的事件不一定是不可能事件，这是概念辨析常考点。

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六、易错点

1. 加法公式漏减 $P(AB)$：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，只有 $A, B$ 互斥时才能直接加：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。

2. 概率为0≠不可能事件：在连续型样本空间中，单点事件概率为0但不是不可能事件。同理，概率为1的事件不一定是必然事件。

3. 可列可加性vs有限可加性：公理中是"可列可加"，不是"有限可加"。有限可加性是可列可加性的推论。

4. 对立公式的适用条件：$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ 总是成立，无需任何额外条件。但 $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A}\bar{B})$ 需要正确写出对立事件。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第1章 §1.3
大纲	考研数学一大纲"概率的定义与性质"
重点	加法公式、对立事件概率为高频考点