数学一

线性代数

正交规范化与正交矩阵

定位信息

• 章节：第三章 向量 §3.5
• 编号：MATH-LIN-13
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：高频考点，与特征值/二次型章节紧密关联

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一、知识点讲解

13.1 内积

定义：$\mathbb{R}^n$ 中向量 $\alpha = (a_1, \ldots, a_n)^T$，$\beta = (b_1, \ldots, b_n)^T$ 的内积为

$(\alpha, \beta) = \alpha^T \beta = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

性质：

• 对称性：$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$
• 线性：$(k\alpha + l\beta, \gamma) = k(\alpha, \gamma) + l(\beta, \gamma)$
• 正定性：$(\alpha, \alpha) \ge 0$，等号成立 $\Leftrightarrow$ $\alpha = 0$

13.2 向量的长度（范数）

$\|\alpha\| = \sqrt{(\alpha, \alpha)} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$

单位向量：$\|\alpha\| = 1$ 的向量。

单位化：$\alpha \to \frac{\alpha}{\|\alpha\|}$（$\alpha \neq 0$）

13.3 正交

定义：若 $(\alpha, \beta) = 0$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交（垂直），记 $\alpha \perp \beta$。

正交向量组：两两正交的非零向量组。正交向量组必线性无关。

13.4 Schmidt正交化

将线性无关向量组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 化为正交向量组 $\beta_1, \ldots, \beta_s$：

$\beta_1 = \alpha_1$

$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1$

$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2$

一般地：

$\beta_k = \alpha_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_j)}{(\beta_j, \beta_j)}\beta_j$

正交规范化：先Schmidt正交化得到 $\beta_1, \ldots, \beta_s$，再单位化得到 $\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$。

13.5 正交矩阵

定义：$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^T A = AA^T = E$，即 $A^T = A^{-1}$。

等价条件：

• $A$ 的列向量组是标准正交向量组（两两正交且都是单位向量）
• $A$ 的行向量组是标准正交向量组
• $|A| = \pm 1$

正交矩阵的性质：

• $A^{-1} = A^T$（逆等于转置，计算简便）
• $|A| = 1$（旋转）或 $|A| = -1$（反射）
• 正交矩阵的乘积仍为正交矩阵
• 正交变换保内积、保长度、保角度

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二、记忆辅助

1. Schmidt正交化口诀："减去在前面方向上的投影" —— $\beta_k = \alpha_k - \text{proj}(\alpha_k \text{在} \beta_1, \ldots, \beta_{k-1}\text{方向上的分量})$
2. 正交矩阵 = 行/列都是标准正交基：$A^TA = E$ 意味着列向量两两正交且为单位向量
3. 正交矩阵的行列式 = ±1：$|A^T A| = |A|^2 = 1$

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三、例题精解

例1：Schmidt正交化

题目：将 $\alpha_1 = (1,1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,0,1)^T$，$\alpha_3 = (0,1,1)^T$ 正交规范化。

第一步：审题与分析 先验证线性无关，再做Schmidt正交化+单位化。

第二步：选择方法 Schmidt正交化 → 单位化。

第三步：完整计算

正交化：

$\beta_1 = \alpha_1 = (1,1,0)^T$

$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = (1,0,1)^T - \frac{1+0+0}{1+1+0}(1,1,0)^T = (1,0,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^T$

$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2$

$(\alpha_3, \beta_1) = 0+1+0 = 1$，$(\beta_1, \beta_1) = 2$

$(\alpha_3, \beta_2) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$，$(\beta_2, \beta_2) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1 = \frac{3}{2}$

$\beta_3 = (0,1,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T - \frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)^T = (0,1,1)^T - (\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)^T - \frac{1}{3}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)^T$

$= (0-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}, 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}, 1-0-\frac{1}{3})^T = (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})^T$

单位化：

$\|\beta_1\| = \sqrt{2}$，$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$

$\|\beta_2\| = \sqrt{3/2}$，$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{3/2}}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)^T = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$

$\|\beta_3\| = \sqrt{4/3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$，$\gamma_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})^T = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^T$

第四步：验证与总结

$\boxed{\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T, \quad \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T, \quad \gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^T}$

验证 $(\gamma_1, \gamma_2) = \frac{1}{\sqrt{12}}(1-1+0) = 0$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（Schmidt正交化+单位化）、选择题（正交矩阵的性质）
• 考查重点：Schmidt正交化过程、正交矩阵的判定与性质
• 命题趋势：Schmidt正交化是实对称矩阵正交对角化的前置步骤，几乎每年必考
• 分值占比：约3-6分（常与实对称矩阵的正交对角化一起考查，合计8-10分）

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五、易错点

1. Schmidt正交化中的投影系数：$\frac{(\alpha_k, \beta_j)}{(\beta_j, \beta_j)}$ 分母是 $\beta_j$ 的内积的平方（即长度的平方），不是长度本身
2. 正交化后需单位化：Schmidt正交化只保证正交，不保证是单位向量。要得到标准正交基还需除以长度
3. 正交矩阵的行列式：$|A| = \pm 1$，不能断定是 $+1$ 还是 $-1$。旋转矩阵 $|A|=1$，反射矩阵 $|A|=-1$

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第3章 §3.6
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第3章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第6讲