数学一

线性代数

二次型及其矩阵表示

定位信息

• 章节：第六章 二次型 §6.1
• 编号：MATH-LIN-21
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：高频考点，每年涉及

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一、知识点讲解

21.1 二次型的定义

$n$ 个变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的二次齐次多项式

$f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$

称为 $n$ 元二次型，简称二次型。

21.2 二次型的矩阵表示

取 $a_{ij} = a_{ji}$（对称化），则二次型可唯一地表示为

$f = x^TAx$

其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是实对称矩阵，$x = (x_1, \ldots, x_n)^T$。

$A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，$A$ 的秩称为二次型的秩。

注意：二次型的矩阵必须是对称矩阵。若 $a_{ij} \neq a_{ji}$，需先对称化：$a_{ij}' = a_{ji}' = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2}$。

21.3 标准形与规范形

标准形：只含平方项的二次型

$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$

矩阵为对角矩阵 $\text{diag}(d_1, \ldots, d_n)$。

规范形：系数只取 $1, -1, 0$ 的标准形

$f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2$

其中 $p$ 为正惯性指数，$r = r(A)$ 为秩。

21.4 线性变换与二次型

设 $x = Cy$（$C$ 可逆），则

$f = x^TAx = (Cy)^TA(Cy) = y^T(C^TAC)y = y^TBy$

其中 $B = C^TAC$。$A$ 与 $B$ 的关系是合同关系。

21.5 二次型化标准形的方法

方法	变换矩阵	变换形式	结果
正交变换法	正交矩阵 $Q$	$x = Qy$	$f = \lambda_1y_1^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$
配方法	可逆矩阵 $C$	$x = Cy$	$f = d_1y_1^2 + \cdots + d_ny_n^2$
初等变换法	可逆矩阵 $C$	$x = Cy$	同上

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二、记忆辅助

1. 二次型 = 对称矩阵 + 向量：$f = x^TAx$，$A$ 必须对称
2. 合同变换：$B = C^TAC$，与相似变换 $P^{-1}AP$ 的区别是"转置 vs 逆"
3. 标准形的系数 = 特征值（正交变换法下）：正交变换化标准形时，系数就是 $A$ 的特征值

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三、例题精解

例1：写出二次型的矩阵

题目：写出二次型 $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3$ 的矩阵。

第一步：审题与分析 从二次型中提取系数，注意对称化。

第二步：选择方法$a_{ii}$ = 平方项系数，$a_{ij} = a_{ji}$ = 交叉项系数的一半。

第三步：完整计算

$x_1^2$ 的系数：$a_{11} = 1$$x_2^2$ 的系数：$a_{22} = 2$$x_3^2$ 的系数：$a_{33} = 3$$x_1x_2$ 的系数：$a_{12} + a_{21} = 2$，对称化 $a_{12} = a_{21} = 1$$x_1x_3$ 的系数：$a_{13} + a_{31} = -4$，对称化 $a_{13} = a_{31} = -2$$x_2x_3$ 的系数：$0$，$a_{23} = a_{32} = 0$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \ 1 & 2 & 0 \ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}}$

验证：$x^TAx = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3$ ✓

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例2：用配方法化标准形

题目：用配方法将 $f = x_1^2 + 2x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3$ 化为标准形。

第一步：审题与分析 先对含 $x_1$ 的项配方，再依次配方。

第二步：选择方法 逐步配方法。

第三步：完整计算

$f = (x_1^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3) + 2x_2^2 + 5x_3^2$

$= (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 - (x_2 - 2x_3)^2 + 2x_2^2 + 5x_3^2$

$= (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 + x_2^2 + 4x_2x_3 + x_3^2$

$= (x_1 + x_2 - 2x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 - 3x_3^2$

令 $\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 - 2x_3 \ y_2 = x_2 + 2x_3 \ y_3 = x_3 \end{cases}$

则 $f = y_1^2 + y_2^2 - 3y_3^2$

第四步：验证与总结$\boxed{f = y_1^2 + y_2^2 - 3y_3^2}$。正惯性指数 $p = 2$，负惯性指数 $q = 1$，秩 $r = 3$。

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（写出矩阵、化标准形）、选择题（二次型的秩、惯性指数）
• 考查重点：二次型与矩阵的对应、配方法化标准形、正交变换法化标准形
• 命题趋势：二次型化标准形是每年必考的大题（常与正交对角化结合）
• 分值占比：约8-12分

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五、易错点

1. 交叉项系数要除以2：$x_1x_2$ 的系数为2时，$a_{12} = a_{21} = 1$，不是2
2. 矩阵必须对称：二次型的矩阵一定是实对称矩阵，不能取非对称矩阵
3. 配方法的变换矩阵：配方法得到的变换 $x = Cy$ 中 $C$ 一般不是正交矩阵，只有正交变换法才能保证 $C$ 是正交矩阵

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第6章 §6.1
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第6章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第9讲