MATH-PRO-26 χ²分布、t分布、F分布

数学一 > ### 概率论与数理统计 > #### 三大抽样分布

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第六章 样本及抽样分布
知识单元编号	MATH-PRO-26
前置知识	MATH-PRO-25（总体与样本）
后续关联	MATH-PRO-27（正态总体的抽样分布）、MATH-PRO-31~34（估计与检验）
考试地位	核心考点，每年必考
难度等级	★★★★☆

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二、知识点讲解

1. $\chi^2$ 分布

定义：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，$X_i \sim N(0,1)$，则

$\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

称 $\chi^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布。

性质：

• $E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$
• 可加性：若 $\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)$，$\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$，且独立，则 $\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)$

2. $t$ 分布

定义：设 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则

$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$

称 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布。

性质：

• $t$ 分布关于 $t = 0$ 对称
• $E(T) = 0$（$n > 1$），$D(T) = \frac{n}{n-2}$（$n > 2$）
• 当 $n \to \infty$ 时，$t(n) \to N(0,1)$
• $t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$（对称性）

3. $F$ 分布

定义：设 $U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，且 $U, V$ 独立，则

$F = \frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)$

性质：

• $F > 0$（取值为正）
• 若 $T \sim t(n)$，则 $T^2 \sim F(1, n)$
• $F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

4. 三大分布对比表

分布	定义	期望	方差	对称性
$\chi^2(n)$	$\sum X_i^2$，$X_i \sim N(0,1)$	$n$	$2n$	非对称
$t(n)$	$\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$，$X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$	$0$	$\frac{n}{n-2}$	关于0对称
$F(n_1,n_2)$	$\frac{U/n_1}{V/n_2}$，$U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$	—	—	非对称

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三、记忆辅助

1. $\chi^2$ 分布：独立标准正态的平方和——"$\chi^2 = \sum Z_i^2$"。
2. $t$ 分布：标准正态除以 $\chi^2$ 的标准化——"$T = Z/\sqrt{\chi^2/n}$"。
3. $F$ 分布：两个 $\chi^2$ 的标准化之比——"$F = (\chi_1^2/n_1)/(\chi_2^2/n_2)$"。
4. $T^2 \sim F(1,n)$：$t$ 分布的平方是 $F$ 分布。

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四、例题精解

【例题1】$\chi^2$ 分布的性质

题目：设 $X_1, X_2, \ldots, X_5$ 独立同分布，$X_i \sim N(0,1)$。求 $Y = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布和 $E(Y)$。

解答：

第一步：确定分布

$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3)$，自由度为3。

第二步：求期望

$E(Y) = 3$（$\chi^2(n)$ 的期望为 $n$）。

第三步：求方差

$D(Y) = 2 \times 3 = 6$（$\chi^2(n)$ 的方差为 $2n$）。

第四步：结论

$Y \sim \chi^2(3)$，$E(Y) = 3$，$D(Y) = 6$。

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【例题2】$t$ 分布的构造

题目：设 $X_1, X_2, \ldots, X_{10}$ 为来自 $N(0, 4)$ 的样本。$T = \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{10}}$ 服从什么分布？

解答：

第一步：标准化 $\bar{X}$

$\bar{X} \sim N(0, \frac{4}{10})$，$\frac{\bar{X}}{\sqrt{4/10}} = \frac{\bar{X}}{2/\sqrt{10}} \sim N(0,1)$。

第二步：样本方差

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{9S^2}{4} \sim \chi^2(9)$。

第三步：构造 $t$ 统计量

$T = \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{10}} = \frac{\bar{X}/(2/\sqrt{10})}{S/2} = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(9)/9}} \sim t(9)$

第四步：结论

$T \sim t(9)$，自由度为9。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	选择/填空	三大分布的定义与性质	4分
高频	计算	构造服从三大分布的统计量	10分
高频	综合	与区间估计、假设检验结合	10-12分

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六、易错点

1. $\chi^2$ 分布的自由度：$n$ 个独立标准正态的平方和自由度为 $n$，不是 $n-1$。
2. $t$ 分布的自由度：$T = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$ 自由度为 $n$，即 $\chi^2$ 的自由度。
3. $F$ 分布的自由度：$F(n_1, n_2)$ 有两个自由度，顺序不能颠倒。
4. $t$ 分布趋向标准正态：$n$ 大时 $t(n) \approx N(0,1)$。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第6章 §6.3-6.4
大纲	考研数学一大纲"$\chi^2$分布、$t$分布、$F$分布"