数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-23：定积分的定义与性质

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：极限的概念与性质（MATH-CAL-03至MATH-CAL-06）、函数的有界性与连续性（MATH-CAL-07）。定积分的定义本质上是一个特殊的极限。
• 知识网络定位：本单元是定积分理论的起点，上承不定积分，下启微积分基本定理。理解定积分的定义和性质是掌握定积分计算和应用的基础。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。定积分的定义（尤其是用定义求极限）和性质（比较定理、估值定理等）是考研高频考点。

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二、知识点讲解

2.1 定积分的定义

定义（黎曼积分）：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入 $n-1$ 个分点：

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$

将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，$\lambda = \max\limits_{1 \leq i \leq n}\{\Delta x_i\}$。

在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式

$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$

若当 $\lambda \to 0$ 时，$S$ 的极限存在且与分法和 $\xi_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，此极限值称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$

直观解释：定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 的几何意义是曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴、直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成的面积的代数和（$x$ 轴上方为正，下方为负）。

例子：$\int_0^1 x\,dx$ 表示直线 $y=x$ 与 $x$ 轴在 $[0,1]$ 上围成的三角形面积，等于 $\frac{1}{2}$。

2.2 可积的充分条件

定理1：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理2：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理3：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

证明思路：利用达布上和与达布下和的性质，证明当 $\lambda \to 0$ 时，上和与下和的差趋于零。

2.3 定积分的基本性质

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则：

性质1（线性性质）：

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$

性质2（区间可加性）：

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

对任意 $c$ 成立（不要求 $a < c < b$）。

性质3（保号性/比较定理）：

若 $f(x) \geq 0$，$x \in [a,b]$，则 $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$。

推论：若 $f(x) \geq g(x)$，$x \in [a,b]$，则 $\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x)\,dx$。

性质4（绝对值不等式）：

$\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$

性质5（估值定理）：

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$m \leq f(x) \leq M$，则

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$

性质6（积分中值定理）：

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得

$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)$

证明思路：由连续函数的介值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到最大值 $M$ 和最小值 $m$，由估值定理有 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$，即 $m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq M$，由介值定理即得。

性质7：$\int_a^a f(x)\,dx = 0$，$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$。

2.4 用定积分定义求极限

定积分定义的一个重要应用是求某些数列极限。若将极限式写成黎曼和的形式，则可以化为定积分。

核心方法：将 $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$ 化为 $\int_0^1 f(x)\,dx$。

更一般地：

$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：定积分定义的"分割—取点—求和—取极限"四步法

"分、取、和、限"——分割区间、取样本点、作黎曼和、取极限。

技巧2：定积分性质的对比记忆

性质	条件	结论
保号性	$f(x) \geq 0$	$\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$
比较定理	$f(x) \geq g(x)$	$\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x)\,dx$
估值定理	$m \leq f(x) \leq M$	$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$
中值定理	$f(x)$ 连续	$\exists\,\xi$，$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)$

技巧3：用定义求极限的关键

将极限式 $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$ 凑成 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$ 的形式，其中 $\frac{1}{n}$ 对应 $dx$，$\frac{i}{n}$ 对应 $x$ 的取值。这是考研选择题和填空题的高频技巧。

技巧4：定积分 vs 不定积分

对比项	不定积分	定积分
本质	原函数族 $F(x)+C$	黎曼和的极限（数值）
结果	函数	数值
几何意义	原函数曲线族	曲边梯形面积（代数和）
记号	$\int f(x)\,dx$	$\int_a^b f(x)\,dx$

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四、例题与精解

例1（基础——用定义求极限）

命题意图：考查将数列极限化为定积分的能力。

题目：求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)$。

审题分析：这是一个和式的极限，项数随 $n$ 增大。需要将其化为黎曼和的形式。

解题思路：将和式改写，提取 $\frac{1}{n}$ 作为"小区间长度"，将 $\frac{i}{n}$ 视为分割点。

完整步骤：

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n\left(1+\frac{i}{n}\right)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$

这恰好是函数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和（取 $\xi_i = \frac{i}{n}$，$\Delta x = \frac{1}{n}$）。

当 $n \to \infty$ 时：

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+x)\Big|_0^1 = \ln 2$

方法反思：将和式极限化为定积分的关键是识别 $\frac{1}{n}$（对应 $dx$）和 $\frac{i}{n}$（对应 $x$）。注意 $\frac{i}{n}$ 的取值范围确定积分上下限。

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例2（中等——定积分性质的应用）

命题意图：考查定积分的比较定理和估值定理。

题目：比较 $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(\sin x)\,dx$，$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\sin x)\,dx$，$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(\cos x)\,dx$ 的大小。

审题分析：需要利用比较定理和三角函数的性质来判断被积函数的大小关系。

解题思路：在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上比较 $\sin(\sin x)$、$\cos(\sin x)$ 和 $\sin(\cos x)$ 的大小。

完整步骤：

在 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 上：

比较 $I_1$ 和 $I_3$：注意到当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\sin x \geq \cos x$（当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时取等号），且 $\sin u$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此 $\sin(\sin x) \geq \sin(\cos x)$，故 $I_1 \geq I_3$。

比较 $I_1$ 和 $I_2$：当 $u \in [0,1] \subset [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\sin u \leq \cos u$（因为 $\frac{\pi}{4} > 1$ 不对，实际上当 $u < \frac{\pi}{4}$ 时 $\sin u < \cos u$，当 $u > \frac{\pi}{4}$ 时 $\sin u > \cos u$）。

更精确地：当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\sin x \in [0,1]$。而在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上 $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$，且 $\sin(\sin x) < \cos(\sin x)$（因为 $\sin x < \frac{\pi}{4}$ 时 $\sin u < \cos u$）。

当 $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\sin x \in [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$，此时 $\sin x > \frac{\pi}{4}$，所以 $\sin(\sin x) > \cos(\sin x)$。

需要更仔细的分析。利用恒等式：$\cos u = \sin(\frac{\pi}{2} - u)$。

当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\frac{\pi}{2} - \sin x \in [\frac{\pi}{2}-1, \frac{\pi}{2}]$。而 $\sin x \in [0,1]$。

因为 $\frac{\pi}{2} - 1 > 1$（$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$），所以 $\frac{\pi}{2} - \sin x > \sin x$，从而 $\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x) > \sin(\sin x)$，即 $\cos(\sin x) > \sin(\sin x)$。

因此 $I_2 > I_1$。

比较 $I_2$ 和 $I_3$：$\cos(\sin x)$ 与 $\sin(\cos x)$。令 $g(x) = \cos(\sin x) - \sin(\cos x)$。

在 $x = 0$ 处：$g(0) = \cos 0 - \sin 1 = 1 - \sin 1 > 0$。 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处：$g(\frac{\pi}{2}) = \cos 1 - \sin 0 = \cos 1 > 0$。

$g'(x) = -\sin(\sin x)\cos x - \cos(\cos x)(-\sin x) = \sin x\cos(\cos x) - \cos x\sin(\sin x)$

这比较复杂。用另一种方法：$\sin(\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}-\cos x)$，而 $\cos(\sin x) = \cos(\sin x)$。

当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$，且 $\sin x, \cos x \in [0,1]$。

实际上可以直接比较：$\frac{\pi}{2} - \cos x \geq \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.57$。而 $\sin x \in [0,1]$。当 $x$ 较小时 $\cos x$ 接近 $1$，$\frac{\pi}{2} - \cos x$ 接近 $0.57$，$\sin x$ 接近 $0$，所以 $\cos(\frac{\pi}{2}-\cos x) = \sin(\cos x)$ 接近 $\sin 1$，而 $\cos(\sin x)$ 接近 $\cos 0 = 1$，所以 $I_2 > I_3$。

综合结论：$I_2 > I_1 > I_3$，即

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\sin x)\,dx > \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(\sin x)\,dx > \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(\cos x)\,dx$

方法反思：定积分大小比较的核心工具是比较定理——只需比较被积函数的大小。关键技巧包括：利用三角函数的单调性、换元后比较、构造辅助函数等。

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五、考情分析

• 考查频次：定积分的定义与性质在近5年真题中出现约 5-7次。
• 常见题型：选择题（比较大小、判断可积性）、填空题（用定义求极限）。
• 分值占比：选择题和填空题各4-5分。
• 命题趋势：用定积分定义求极限是高频选择题/填空题考点，几乎每年都有。定积分性质（比较定理、估值定理、中值定理）常与微分中值定理结合出综合题。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：用定义求极限时积分上下限确定错误

• 错误表现：将 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$ 错误地化为 $\int_1^2 f(x)\,dx$。
• 错误原因：$\frac{i}{n}$ 当 $i=1$ 时取 $\frac{1}{n} \to 0$，当 $i=n$ 时取 $1$，所以上下限应为 $0$ 和 $1$。
• 正确做法：$\frac{i}{n}$ 的取值范围确定积分区间 $[0,1]$。一般地，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}) = \int_0^1 f(x)\,dx$。

易错点2：忽略保号性的严格不等号条件

• 错误表现：若 $f(x) > 0$，则 $\int_a^b f(x)\,dx > 0$，但写成 $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$。
• 错误原因：当 $f(x) > 0$ 且 $f$ 连续时，$\int_a^b f(x)\,dx > 0$（严格不等号），但当 $f$ 不连续时可能取等号。
• 正确做法：连续函数的保号性可以升级为严格不等号。不连续函数需要小心。

易错点3：积分中值定理中 $\xi$ 的范围

• 错误表现：认为 $\xi \in (a,b)$（开区间）。
• 错误原因：积分中值定理的结论是 $\xi \in [a,b]$（闭区间）。但在加强条件下（$f$ 连续），可以证明 $\xi \in (a,b)$（开区间）。
• 正确做法：标准表述是 $\xi \in [a,b]$，但在大多数考研应用中 $f$ 都是连续的，此时可取 $\xi \in (a,b)$。

易错点4：定积分性质中区间可加性方向

• 错误表现：认为 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ 仅在 $a < c < b$ 时成立。
• 错误原因：该性质对任意 $a, b, c$ 都成立（利用 $\int_a^b = -\int_b^a$）。
• 正确做法：区间可加性不受 $a, b, c$ 大小关系的限制。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了定积分的严格定义和基本性质，这些是定积分理论的基石。