MATH-PRO-19 数学期望的定义与性质

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第四章 随机变量的数字特征
知识单元编号	MATH-PRO-19
前置知识	MATH-PRO-08~18（前三章）
后续关联	MATH-PRO-20（方差）、MATH-PRO-21（协方差）
考试地位	数字特征的核心，每年必考
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 离散型随机变量的期望

定义：设 $X$ 的分布律为 $P(X=x_k) = p_k$，若 $\sum_k |x_k| p_k < +\infty$，则

$\boxed{E(X) = \sum_k x_k p_k}$

2. 连续型随机变量的期望

定义：设 $X$ 的密度为 $f(x)$，若 $\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x)\,dx < +\infty$，则

$\boxed{E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx}$

期望不存在的例子：柯西分布 $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$，$\int |x|f(x)dx = +\infty$。

3. 随机变量函数的期望

定理（无需求分布直接求期望）：

离散型：$E[g(X)] = \sum_k g(x_k) p_k$

连续型：$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x)\,dx$

二维：$E[g(X,Y)] = \sum_i\sum_j g(x_i,y_j) p_{ij}$（离散）或 $\iint g(x,y)f(x,y)dxdy$（连续）

重要：求 $E[g(X)]$ 不需要先求 $g(X)$ 的分布，直接用 $X$ 的分布计算！

4. 期望的性质

性质	公式	条件
线性	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$a,b$ 为常数
可加性	$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$	无条件
独立乘积	$E(XY) = E(X)E(Y)$	$X,Y$ 独立
单调性	若 $X \leq Y$，则 $E(X) \leq E(Y)$	—

5. 常见分布的期望

分布	$E(X)$
$B(n,p)$	$np$
$P(\lambda)$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$
$E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$

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三、记忆辅助

1. 期望 = 加权平均：离散型 $E(X) = \sum x_k p_k$（值×概率求和）。
2. 线性性质：$E(aX+b) = aE(X)+b$——"期望的线性"，不需要独立条件。
3. 独立→乘积的期望=期望的乘积：$E(XY) = E(X)E(Y)$ 仅在独立时成立。
4. 求期望不用求分布：$E[g(X)]$ 直接用 $X$ 的分布计算，省去求 $g(X)$ 分布的步骤。

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四、例题精解

【例题1】求期望

题目：设 $X \sim B(3, 0.4)$，求 $E(X)$ 和 $E(X^2)$。

解答：

第一步：求 $E(X)$

$E(X) = np = 3 \times 0.4 = 1.2$

第二步：求 $E(X^2)$

利用 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$： $D(X) = np(1-p) = 3 \times 0.4 \times 0.6 = 0.72$$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 0.72 + 1.44 = 2.16$

第三步：验证（直接计算）

$X$ 的分布律：$P(X=0)=0.216$，$P(X=1)=0.432$，$P(X=2)=0.288$，$P(X=3)=0.064$。

$E(X) = 0\times0.216 + 1\times0.432 + 2\times0.288 + 3\times0.064 = 0 + 0.432 + 0.576 + 0.192 = 1.2$ ✓

$E(X^2) = 0\times0.216 + 1\times0.432 + 4\times0.288 + 9\times0.064 = 0 + 0.432 + 1.152 + 0.576 = 2.16$ ✓

第四步：结论

$E(X) = 1.2$，$E(X^2) = 2.16$。

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【例题2】随机变量函数的期望

题目：设 $X \sim U(0, 2)$，求 $E(e^X)$。

解答：

第一步：写出密度

$f(x) = \frac{1}{2}$，$0 < x < 2$。

第二步：直接计算

$E(e^X) = \int_0^2 e^x \cdot \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^2 e^x\,dx = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$

第三步：数值

$E(e^X) = \frac{e^2 - 1}{2} \approx \frac{7.389 - 1}{2} = \frac{6.389}{2} \approx 3.195$

第四步：结论

$E(e^X) = \frac{e^2 - 1}{2}$。注意这里不需要先求 $Y = e^X$ 的分布，直接用 $X$ 的密度计算。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	计算	求期望（直接法或公式法）	4-10分
高频	综合	期望与方差的联合求解	10分
中频	选择题	期望性质的辨析	4分

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六、易错点

1. $E(XY) = E(X)E(Y)$ 需要独立：不独立时一般 $E(XY) \neq E(X)E(Y)$。
2. 期望不存在的情形：$\sum |x_k|p_k = \infty$ 或 $\int |x|f(x)dx = \infty$ 时，期望不存在。
3. $E[g(X)]$ 不需要求 $g(X)$ 的分布：直接用 $X$ 的分布计算，这是关键技巧。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第4章 §4.1-4.2
大纲	考研数学一大纲"数学期望"