数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-18：渐近线与曲率

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：极限的概念与计算（MATH-CAL-03至06）、导数的定义与求导法则（MATH-CAL-09、MATH-CAL-10）。渐近线的求解依赖于极限计算，曲率的计算依赖于导数。
• 知识网络定位：本单元是函数图形描绘的最后一环，上承单调性、极值、凹凸性与拐点，将这些信息综合起来完成函数图形的完整描绘。曲率在工程和物理中有广泛应用。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。渐近线是选择题和填空题的常见考点，曲率单独出题较少但作为综合题的一部分出现。

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二、知识点讲解

2.1 渐近线的分类与求法

渐近线分为三类：水平渐近线、竖直渐近线和斜渐近线。

2.1.1 水平渐近线

若 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ 或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$（$b$ 为常数），则 $y = b$ 是曲线的一条水平渐近线。

说明：$x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 可能各有不同的水平渐近线，也可能一侧有而另一侧没有。

2.1.2 竖直渐近线

若 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$，则 $x = x_0$ 是曲线的一条竖直渐近线。

说明：竖直渐近线出现在函数的"间断点"处——通常是分母为零的点、对数函数的零点等。只需检查函数的不连续点即可。

2.1.3 斜渐近线

若 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$（$a \neq 0$）且 $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b$，则 $y = ax + b$ 是曲线的一条斜渐近线。

同样检查 $x \to -\infty$ 的情况。

斜渐近线的求法：

1. 求 $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
2. 求 $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]$
3. 若两个极限都存在且 $a \neq 0$，则 $y = ax + b$ 为斜渐近线

注意：同一条曲线在 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 方向可能有不同的渐近线。水平渐近线可以看作斜渐近线中 $a = 0$ 的特殊情况。

2.2 渐近线的存在性判断

条件	渐近线类型	说明
$\lim_{x \to \infty} f(x) = b$	水平 $y=b$	最常见
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$	竖直 $x=x_0$	检查间断点
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$	斜 $y=ax+b$	需进一步求 $b$
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 不存在	无斜渐近线	除非是水平渐近线

2.3 曲率

2.3.1 曲率的定义

定义：设曲线 $y = f(x)$ 光滑（二阶可导），在点 $(x, f(x))$ 处的曲率为：

$\kappa = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}$

直观解释：曲率衡量的是曲线在某一点处的"弯曲程度"。曲率越大，曲线弯曲越厉害。直线的曲率为零，圆的曲率为半径的倒数 $1/R$。

2.3.2 曲率半径

曲率半径：$R = \frac{1}{\kappa} = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$（$\kappa \neq 0$ 时）

曲率半径 $R$ 的几何意义：在曲线上的某一点，可以用一个半径为 $R$ 的圆来局部近似曲线，这个圆称为曲率圆（密切圆），圆心在曲线的凹侧。

2.3.3 参数方程下的曲率

若曲线由参数方程 $x = \varphi(t)$，$y = \psi(t)$ 给出，则曲率为：

$\kappa = \frac{|\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)|}{[\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)]^{3/2}}$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：渐近线求法的"三步检查法"

求函数的全部渐近线：

1. 找竖直：列出所有使 $f(x)$ 无定义或间断的点 $x_0$，计算 $\lim_{x \to x_0} f(x)$
2. 找水平：计算 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 和 $\lim_{x \to -\infty} f(x)$
3. 找斜渐近：若水平渐近线不存在，计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$

技巧2：有理函数渐近线的速判

对 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$（$P$、$Q$ 为多项式）：

• 竖直渐近线：$Q(x) = 0$ 的实根（且不被 $P(x)$ 约去）
• 水平渐近线：$\deg P < \deg Q$ 时 $y=0$；$\deg P = \deg Q$ 时 $y = \frac{\text{首项系数之比}}{}$
• 斜渐近线：$\deg P = \deg Q + 1$ 时存在斜渐近线（多项式除法即可）

技巧3：曲率公式记忆

$\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$

记忆方式：分子是二阶导数的绝对值（弯曲的本质），分母是 $(1+y'^2)^{3/2}$（修正倾斜的影响）。当 $y'=0$（水平切线）时，$\kappa = |y''|$，最简单。

技巧4：渐近线与曲率的知识对比

概念	研究问题	核心工具	应用场景
渐近线	$x \to \infty$ 或间断点处的趋势	极限	函数图形描绘
曲率	曲线在某点的弯曲程度	一阶、二阶导数	道路设计、物理运动

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查函数渐近线的完整求法。

题目：求 $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ 的所有渐近线。

审题分析：有理函数，分子次数高于分母一次，可能存在斜渐近线。分母 $x-1=0$ 即 $x=1$ 处可能有竖直渐近线。

解题思路：按竖直→水平→斜的顺序逐一检查。

完整步骤：

第一步：竖直渐近线

$x = 1$ 时分母为零，检查极限：

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$

所以 $x = 1$ 是竖直渐近线。

第二步：水平渐近线

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x-1} = +\infty$

极限不存在（趋于无穷），没有水平渐近线。

第三步：斜渐近线

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$

$b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^2}{x-1} - x\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$

所以斜渐近线为 $y = x + 1$。

结论：

• 竖直渐近线：$x = 1$
• 斜渐近线：$y = x + 1$
• 无水平渐近线

方法反思：有理函数的渐近线可以通过多项式除法快速求得。$\frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}$，当 $x \to \infty$ 时余项 $\frac{1}{x-1} \to 0$，商 $x+1$ 就是斜渐近线。

例题2（中等提升）

命题意图：考查曲率的计算和参数方程下的曲率。

题目：求椭圆 $\begin{cases} x = a\cos t \ y = b\sin t \end{cases}$（$a > b > 0$）在 $t = 0$ 处的曲率和曲率半径。

审题分析：参数方程形式的曲线，使用参数方程的曲率公式。

解题思路：先求 $x'(t)$、$x''(t)$、$y'(t)$、$y''(t)$，代入参数方程曲率公式。

完整步骤：

第一步：求各阶导数

$x'(t) = -a\sin t, \quad x''(t) = -a\cos t$

$y'(t) = b\cos t, \quad y''(t) = -b\sin t$

第二步：代入曲率公式

$\kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$

分子：

$x'y'' - x''y' = (-a\sin t)(-b\sin t) - (-a\cos t)(b\cos t)$

$= ab\sin^2 t + ab\cos^2 t = ab$

分母：

$x'^2 + y'^2 = a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t$

所以：

$\kappa(t) = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}}$

第三步：求 $t = 0$ 处的曲率

$\kappa(0) = \frac{ab}{(a^2 \cdot 0 + b^2 \cdot 1)^{3/2}} = \frac{ab}{b^3} = \frac{a}{b^2}$

第四步：求曲率半径

$R = \frac{1}{\kappa(0)} = \frac{b^2}{a}$

结论：椭圆在 $t = 0$（即点 $(a, 0)$）处的曲率为 $\dfrac{a}{b^2}$，曲率半径为 $\dfrac{b^2}{a}$。

方法反思：对于参数方程的曲率，分子 $|x'y'' - x''y'|$ 的计算是关键。注意椭圆的曲率在各点不同，在长轴端点（$t=0$）处曲率最小（最平坦），在短轴端点（$t=\pi/2$）处曲率最大（最弯曲）。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年出现约2–3次，属于中频考点。
• 常见题型：选择题（判断渐近线条数）、填空题（求渐近线方程或曲率）。
• 分值占比：直接考查约3–4分。
• 命题趋势：渐近线的考查较为稳定，曲率偶尔出现在填空题中。函数图形描绘的综合题中渐近线是必求内容。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1

• 错误表现：求斜渐近线时，只算了 $\lim_{x \to +\infty}$ 忘了 $\lim_{x \to -\infty}$。
• 错误原因：两个方向可能有不同的渐近线。
• 正确做法：$x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 分别检查。

易错点2

• 错误表现：对竖直渐近线只检查分母为零的点，忽略对数函数 $\ln f(x)$ 中 $f(x) = 0$ 的点。
• 错误原因：竖直渐近线出现在所有函数无定义或趋于无穷的点。
• 正确做法：检查所有使函数无定义的点，包括分母为零、对数内部为零等。

易错点3

• 错误表现：曲率公式中忘记取绝对值，或分母的指数写错。
• 错误原因：记忆不准确。
• 正确做法：$\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$，分子有绝对值，分母指数是 $3/2$。

易错点4

• 错误表现：将 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 不存在就断定没有斜渐近线。
• 错误原因：$a = 0$ 时就是水平渐近线，不应跳过水平渐近线的检查。
• 正确做法：先检查水平渐近线，再检查斜渐近线。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数微分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）