MATH-PRO-34 单个及两个正态总体的均值和方差检验

数学一 > ### 概率论与数理统计 > #### 正态总体的参数检验

---

一、定位信息

项目	内容
所属章节	第八章 假设检验
知识单元编号	MATH-PRO-34
前置知识	MATH-PRO-32（假设检验步骤）、MATH-PRO-33（两类错误）
后续关联	无（最后一章）
考试地位	假设检验的核心，解答题高频
难度等级	★★★★★

---

二、知识点讲解

1. 单个正态总体的检验

设 $X_1, \ldots, X_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。

（1）$\sigma$ 已知，检验 $\mu$（$Z$ 检验）

$H_0: \mu = \mu_0$，统计量 $Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

$H_1$	拒绝域
$\mu \neq \mu_0$	$|Z| > z_{\alpha/2}$
$\mu > \mu_0$	$Z > z_\alpha$
$\mu < \mu_0$	$Z < -z_\alpha$

（2）$\sigma$ 未知，检验 $\mu$（$t$ 检验）

$H_0: \mu = \mu_0$，统计量 $T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

$H_1$	拒绝域
$\mu \neq \mu_0$	$|T| > t_{\alpha/2}(n-1)$
$\mu > \mu_0$	$T > t_\alpha(n-1)$
$\mu < \mu_0$	$T < -t_\alpha(n-1)$

（3）检验 $\sigma^2$（$\chi^2$ 检验）

$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$，统计量 $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

$H_1$	拒绝域
$\sigma^2 \neq \sigma_0^2$	$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$
$\sigma^2 > \sigma_0^2$	$\chi^2 > \chi^2_\alpha(n-1)$
$\sigma^2 < \sigma_0^2$	$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$

2. 两个正态总体的检验

设 $X_1, \ldots, X_{n_1}$ 来自 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y_1, \ldots, Y_{n_2}$ 来自 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$。

（1）检验 $\mu_1 = \mu_2$（$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知）

$Z = \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$

（2）检验 $\mu_1 = \mu_2$（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知）

$T = \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t(n_1+n_2-2)$

（3）检验 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$

$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

3. 检验方法速查表

检验目标	条件	统计量	分布
$\mu = \mu_0$	$\sigma$ 已知	$Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$
$\mu = \mu_0$	$\sigma$ 未知	$T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$
$\sigma^2 = \sigma_0^2$	—	$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$	$\chi^2(n-1)$
$\mu_1 = \mu_2$	$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 已知	$Z = \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}$	$N(0,1)$
$\mu_1 = \mu_2$	$\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 未知	$T = \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$	$t(n_1+n_2-2)$
$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$	—	$F = S_1^2/S_2^2$	$F(n_1-1,n_2-1)$

---

三、记忆辅助

1. 均值检验：$\sigma$ 已知→$Z$，$\sigma$ 未知→$t$。
2. 方差检验：一个总体→$\chi^2$，两个总体→$F$。
3. 拒绝域方向：$H_1$ 含"$\neq$"→双侧，含"$>$"→右侧，含"$<$"→左侧。
4. $F$ 检验的大方差做分子：$F = S_1^2/S_2^2$，通常把较大的方差放分子，使 $F > 1$。

---

四、例题精解

【例题1】$\sigma$ 未知时检验均值

题目：某厂生产的零件重量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，标准重量 $\mu_0 = 50$。取9个样本，$\bar{x} = 49.5$，$s = 1.2$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验 $H_0: \mu = 50$ vs $H_1: \mu \neq 50$。（$t_{0.025}(8) = 2.306$）

解答：

第一步：提出假设

$H_0: \mu = 50$，$H_1: \mu \neq 50$

第二步：选择统计量

$\sigma$ 未知，$T = \frac{\bar{X}-50}{S/\sqrt{9}} = \frac{\bar{X}-50}{S/3} \sim t(8)$

第三步：确定拒绝域

双侧检验，$|T| > t_{0.025}(8) = 2.306$

第四步：计算并判断

$T = \frac{49.5-50}{1.2/3} = \frac{-0.5}{0.4} = -1.25$

$|T| = 1.25 < 2.306$，不拒绝 $H_0$。没有足够证据认为 $\mu \neq 50$。

---

【例题2】两个总体的方差检验

题目：两台机器生产的零件重量分别服从 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$。取样本：$n_1 = 10$，$s_1^2 = 0.25$；$n_2 = 15$，$s_2^2 = 0.16$。在 $\alpha = 0.05$ 下检验 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$。（$F_{0.05}(9,14) = 2.65$）

解答：

第一步：提出假设

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$

第二步：选择统计量

$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{0.25}{0.16} = 1.5625$

第三步：确定拒绝域

右侧检验，$F > F_{0.05}(9,14) = 2.65$

第四步：判断

$F = 1.5625 < 2.65$，不拒绝 $H_0$。没有足够证据认为 $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$。

---

五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	解答题	完整的假设检验过程	10-12分
高频	选择题	检验统计量的选择	4分
中频	综合	同时检验均值和方差	10-12分

---

六、易错点

1. $\sigma$ 已知用 $Z$，未知用 $t$：这是最常见的选择错误。
2. 单侧检验的分位数：右侧用 $t_\alpha$，双侧用 $t_{\alpha/2}$，不要混淆。
3. $F$ 检验的自由度：$F(n_1-1, n_2-1)$，分子自由度对应 $S_1^2$ 的样本。
4. 先检验方差再检验均值：两个总体均值检验前，通常先用 $F$ 检验方差是否相等。

---

七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第8章 §8.3-8.4
大纲	考研数学一大纲"正态总体的均值和方差检验"
重点	完整检验步骤、统计量选择为必考内容