数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-50：函数展开为幂级数（泰勒展开）

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：导数与高阶导数的计算、幂级数的收敛域与和函数概念、常见初等函数的性质。需要熟练掌握求导运算，尤其是复合函数和乘积的高阶导数。
• 知识网络定位：本单元是幂级数理论的逆问题——不是"给级数求和函数"，而是"给函数求级数表示"。上承幂级数的收敛理论，下启函数逼近与数值计算等应用。泰勒展开是将函数"翻译"为多项式的工具，是数学分析的核心方法之一。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。将函数展开为幂级数是高频解答题或填空题，分值4-8分。

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二、知识点讲解

2.1 泰勒级数与麦克劳林级数

泰勒级数：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内具有任意阶导数，则称

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots$

为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数。

麦克劳林级数：当 $x_0 = 0$ 时，泰勒级数称为麦克劳林级数：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

关键问题：泰勒级数是否一定收敛到 $f(x)$？答案是否定的。需要满足：

展开定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数收敛到 $f(x)$ 的充要条件是泰勒公式的余项 $R_n(x) \to 0$（$n\to\infty$）。

拉格朗日余项：

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \quad \xi \text{ 在 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间}$

2.2 常见函数的麦克劳林展开式

以下展开式是考研必须牢记的核心公式：

指数函数：

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$

正弦函数：

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$

余弦函数：

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$

对数函数：

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad x \in (-1, 1]$

几何级数（二项式级数的特例）：

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad x \in (-1, 1)$

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots, \quad x \in (-1, 1)$

一般二项式展开（$\alpha$ 为实数）：

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots, \quad x \in (-1, 1)$

特别地，$\alpha = -1$ 时即为 $\frac{1}{1+x}$ 的展开。

2.3 函数展开的方法

方法一：直接法（求高阶导数）

1. 计算 $f^{(n)}(x_0)$，$n = 0, 1, 2, \ldots$
2. 写出泰勒级数 $\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
3. 验证余项 $R_n(x) \to 0$

适用场景：$f(x)$ 的高阶导数有规律可循时（如 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$）。

方法二：间接法（利用已知展开式）

利用已知展开式，通过以下技巧得到新的展开式：

技巧	操作	示例
变量替换	将 $x$ 替换为 $\varphi(x)$	$e^{x^2}$ 用 $e^x$ 的展开式中 $x$ 换为 $x^2$
逐项求导	对已知展开式两边求导	$\frac{1}{(1-x)^2}$ 由 $\frac{1}{1-x}$ 求导得到
逐项积分	对已知展开式两边积分	$\ln(1+x)$ 由 $\frac{1}{1+x}$ 积分得到
代数运算	拆分、乘除、组合	$\frac{x}{1+x^2}$ 拆分为 $x \cdot \frac{1}{1+x^2}$

间接法是考研首选，因为不需要验证余项。

2.4 直接法与间接法对比

对比维度	直接法	间接法
核心步骤	求高阶导数 → 写级数 → 验证余项	利用已知展开式 + 变量替换/求导/积分
计算量	大（需算 $n$ 阶导数）	小（只需变形和套用）
是否需验证余项	必须	不需要（已知展开式的收敛域已确定）
考研实用性	低（除非高阶导数有明显规律）	高（首选方法）
适用场景	$f(x)$ 的 $n$ 阶导数公式已知	绝大多数情况

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三、记忆与理解辅助

技巧1：六大基本展开式口诀

"指正余对几二项，六式牢记心不慌。"

• 指：$e^x$（全实轴收敛）
• 正：$\sin x$（奇次幂，交替符号）
• 余：$\cos x$（偶次幂，交替符号）
• 对：$\ln(1+x)$（$(-1,1]$ 收敛，注意端点）
• 几：$\frac{1}{1-x}$（几何级数，$(-1,1)$ 收敛）
• 二项：$(1+x)^\alpha$（$(-1,1)$ 收敛）

技巧2：展开式的收敛域速记

函数	收敛域	端点情况
$e^x$, $\sin x$, $\cos x$	$(-\infty,+\infty)$	无端点
$\ln(1+x)$	$(-1,1]$	右端收敛，左端发散
$\frac{1}{1-x}$	$(-1,1)$	两端都发散
$(1+x)^\alpha$	$(-1,1)$	$\alpha>0$ 时右端收敛

技巧3：间接展开的"四步法"

1. 变形：将 $f(x)$ 拆分为基本函数的组合（加减乘除、复合）
2. 替换：将基本展开式中的 $x$ 替换为合适的表达式
3. 运算：逐项求导/积分/乘除
4. 标域：写出展开式并标注收敛域（注意端点处的敛散性可能因运算而改变）

技巧4：$\sin x$ 与 $\cos x$ 展开式的记忆

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

只含奇次幂，符号从正开始交替。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

只含偶次幂，符号从正开始交替。

且 $\cos x$ 的展开式恰好是 $\sin x$ 展开式逐项求导后再变号（或直接对 $\sin x$ 展开式逐项求导即得 $\cos x$ 展开式）。

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四、例题与精解

例1（基础巩固）

命题意图：考查利用间接法将函数展开为幂级数。

将 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ 展开为 $x$ 的幂级数。

审题分析：函数形如 $x \cdot \frac{1}{1+x^2}$，可以利用 $\frac{1}{1-t}$ 的展开式。

解题思路：将 $\frac{1}{1+x^2}$ 看作 $\frac{1}{1-(-x^2)}$，利用几何级数展开，再乘以 $x$。

完整步骤：

第一步：利用几何级数展开

$\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n, \quad |t| < 1$

令 $t = -x^2$：

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \quad |x^2| < 1 \text{ 即 } |x| < 1$

第二步：乘以 $x$

$\frac{x}{1+x^2} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n+1}$

第三步：写出展开式

$f(x) = x - x^3 + x^5 - x^7 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n+1}$

第四步：确定收敛域

由 $|x| < 1$，收敛域为 $(-1, 1)$。

验证：取 $x = \frac{1}{2}$：$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1/2}{1+1/4} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$

级数：$\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \cdots = \frac{1/2}{1+1/4} = \frac{2}{5}$ ✓

方法反思：间接展开法的核心是"识别基本形式 + 变量替换"。此题的关键洞察是将 $\frac{1}{1+x^2}$ 看作 $\frac{1}{1-(-x^2)}$。

例2（中等提升）

命题意图：考查综合运用逐项积分和变量替换法展开函数。

将 $f(x) = \arctan x$ 展开为 $x$ 的幂级数。

审题分析：$\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，而 $\frac{1}{1+x^2}$ 的展开式已在例1中得到。因此可以通过逐项积分得到 $\arctan x$ 的展开式。

解题思路：先展开 $\frac{1}{1+x^2}$，再逐项积分。

完整步骤：

第一步：展开被积函数

由例1，$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$，$|x| < 1$。

第二步：逐项积分

$\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n}\,dt$

$= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

第三步：写出展开式

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

第四步：确定收敛域

逐项积分不改变收敛半径，$R = 1$。

检验端点：

• $x = 1$：$\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$，交错级数，$u_n = \frac{1}{2n+1}$ 单调递减趋于零，由莱布尼茨判别法收敛。
• $x = -1$：$\sum \frac{(-1)^n \cdot (-1)^{2n+1}}{2n+1} = -\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$，同样收敛。

收敛域为 $[-1, 1]$。

特别地，令 $x = 1$：

$\frac{\pi}{4} = \arctan 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

这就是著名的 Leibniz 公式。

方法反思：当函数的导数可以展开为幂级数时，通过逐项积分求函数的展开式是非常高效的方法。此题展示了"积分法展开"的标准流程，也说明了逐项积分后端点处的敛散性可能改善（原来发散的端点可能变得收敛）。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年约出现3-4次，是高频考点。
• 常见题型：解答题（将指定函数展开为幂级数）、填空题（写出展开式的前几项）。
• 分值占比：约4-8分。
• 命题趋势：间接展开法是主流考查方式，近年来有将展开与求和函数结合出综合题的趋势（如先展开再利用展开式求某级数的和）。麦克劳林展开式的记忆和灵活运用是核心要求。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：将 $\ln(1+x)$ 的展开式误记为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$（下标从0开始）。 错误原因：$n=0$ 时 $\frac{x^0}{0}$ 无意义，且展开式的第一项应为 $x$（不是 $1$）。 正确理解/做法：$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$，下标从 $n=1$ 开始，符号为 $(-1)^{n-1}$。

2. 错误表现：变量替换后忘记更新收敛域。 错误原因：将 $x$ 替换为 $x^2$ 后，收敛条件从 $|x|<1$ 变为 $|x^2|<1$ 即 $|x|<1$，看似相同但本质不同。对于更复杂的替换（如 $x$ 替换为 $2x$），收敛域会改变。 正确理解/做法：每次变量替换后，必须根据替换关系重新确定收敛域。例如 $\frac{1}{1-2x}$ 的展开式收敛域为 $|2x|<1$ 即 $|x|<\frac{1}{2}$。

3. 错误表现：展开 $\sin x$ 或 $\cos x$ 时漏写某些幂次项。 错误原因：$\sin x$ 只含奇次幂，$\cos x$ 只含偶次幂，容易在写展开式时混入不该有的项。 正确理解/做法：$\sin x$ 的展开式中只有 $x^1, x^3, x^5, \ldots$（奇次幂），$\cos x$ 的展开式中只有 $x^0, x^2, x^4, \ldots$（偶次幂）。写时逐项检查幂次。

4. 错误表现：逐项积分后忘记加上常数项或积分下限选错。 错误原因：$\int_0^x f(t)dt$ 的积分下限为 $0$，确保展开式从常数项开始。若选其他下限，展开式的形式会不同。 正确理解/做法：标准做法是取 $\int_0^x$，这样展开式的形式最简洁。若 $f(0) \neq 0$，积分后常数项自动为零。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·无穷级数·函数展开为幂级数部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版下册）