数学一

线性代数

正交变换化二次型为标准形

定位信息

• 章节：第六章 二次型 §6.3
• 编号：MATH-LIN-23
• 难度：★★★★★
• 近5年考频：最高频考点之一，几乎每年大题

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一、知识点讲解

23.1 正交变换化标准形的原理

设二次型 $f = x^TAx$，$A$ 为实对称矩阵。由实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $Q$ 使得

$Q^TAQ = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

令 $x = Qy$（正交变换），则

$f = x^TAx = y^TQ^TAQy = y^T\Lambda y = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

标准形的系数就是 $A$ 的特征值！

23.2 正交变换化标准形的步骤

1. 写出二次型的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$
3. 对每个特征值求特征向量
4. 对同一特征值的特征向量做Schmidt正交化
5. 所有特征向量单位化
6. 构造正交矩阵 $Q = (\gamma_1, \ldots, \gamma_n)$
7. 正交变换 $x = Qy$，标准形为 $f = \lambda_1y_1^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

23.3 正交变换的优点

优点	说明
保长度	$|x| = |y|$（正交变换是等距变换）
保角度	两向量的夹角不变
系数为特征值	标准形的系数有明确的代数意义
变换可逆	$x = Qy$，$y = Q^Tx$，求逆就是转置

23.4 与配方法的对比

项目	正交变换法	配方法
变换矩阵	正交矩阵 $Q$	一般可逆矩阵 $C$
标准形系数	特征值	不一定
保长度	✓	✗
计算量	较大（需求特征值+正交化）	较小
适用场景	需要保几何性质时	一般化标准形

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二、记忆辅助

1. 正交变换的标准形系数 = 特征值：这是正交变换法的核心优势
2. 步骤口诀："写矩阵→求值→求向量→正交化→单位化→排 $Q$→换元"
3. $x = Qy$ 是正交变换：$Q$ 的列是标准正交的特征向量

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三、例题精解

例1：正交变换化标准形

题目：用正交变换将二次型 $f = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 化为标准形。

第一步：审题与分析 写出矩阵，注意没有平方项。

第二步：选择方法 正交变换法。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

特征值：

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}$

各列加到第1列：$(2-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & -\lambda & 1 \ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}$

$= (2-\lambda)[(-\lambda)^2 + \lambda - 1 - 1 + (-\lambda) + 1]$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 + \lambda - 2)$

$= (2-\lambda)(\lambda+2)(\lambda-1)$

$= -(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-1)$

$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1$

不对，重新算：$= -(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+1)$...

让我重新计算：各列加到第1列，$(-\lambda+2)$ 因子出来，然后 $r_2-r_1, r_3-r_1$ 后得到 $(-\lambda-1)^2$...

实际上：$(2-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & -\lambda-1 & 0 \ 0 & 0 & -\lambda-1 \end{vmatrix} = (2-\lambda)(-\lambda-1)^2 = -(2-\lambda)(\lambda+1)^2$

$\lambda_1 = 2$（一重），$\lambda_2 = -1$（二重）。

$\lambda_1 = 2$：$A - 2E = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\xi_1 = (1, 1, 1)^T$，$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)^T$

$\lambda_2 = -1$：$A + E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\xi_2 = (-1, 1, 0)^T$，$\xi_3 = (-1, 0, 1)^T$

正交化：$\beta_2 = \xi_2 = (-1, 1, 0)^T$

$\beta_3 = \xi_3 - \frac{(\xi_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 = (-1, 0, 1)^T - \frac{1}{2}(-1, 1, 0)^T = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^T$

单位化：$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1, 0)^T$，$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(-1, -1, 2)^T$

正交变换：$x = Qy$

$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结

$\boxed{f = 2y_1^2 - y_2^2 - y_3^2}$

正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 2$，秩 $r = 3$。

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（正交变换化标准形，12分大题）、选择题（标准形的系数）
• 考查重点：完整步骤（写矩阵→求特征值→特征向量→正交化→单位化→构造Q→写标准形）
• 命题趋势：这是线性代数大题的最高频考点，常与正定性判断结合
• 分值占比：约10-12分

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五、易错点

1. 交叉项的矩阵：$2x_1x_2$ 的矩阵中 $a_{12} = a_{21} = 1$（系数的一半），不是2
2. 标准形的系数是特征值：正交变换法下标准形系数就是特征值，不要搞混顺序
3. 正交矩阵 $Q$ 的列与 $\Lambda$ 对应：$Q$ 的第 $i$ 列对应的特征值是 $\Lambda$ 的第 $i$ 个对角元

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第6章 §6.3
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第6章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第10讲