数学一

线性代数

逆矩阵与伴随矩阵

定位信息

• 章节：第二章 矩阵 §2.3
• 编号：MATH-LIN-05
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：高频考点，每年必考

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一、知识点讲解

5.1 逆矩阵的定义

对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $AB = BA = E$，则称 $A$ 可逆，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记 $B = A^{-1}$。

唯一性：若逆存在则唯一。（证明：设 $B_1, B_2$ 均为逆，则 $B_1 = B_1E = B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = EB_2 = B_2$）

5.2 可逆的充要条件

定理：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$（即 $A$ 为非奇异矩阵）。

等价条件汇总（$A$ 为 $n$ 阶方阵）：

• $|A| \neq 0$
• $A$ 可逆（$\exists A^{-1}$）
• $r(A) = n$（满秩）
• $A$ 的行（列）向量组线性无关
• 齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解
• 非齐次方程组 $Ax = b$ 有唯一解
• $A$ 的所有特征值非零
• $|A^*| \neq 0$

5.3 逆矩阵的计算公式

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

5.4 伴随矩阵

定义：$A^* = (A_{ji})$，即 $A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $A$ 中 $a_{ji}$ 的代数余子式。

注意：$A^*$ 的 $(i,j)$ 元素是 $A_{ji}$（下标互换），不是 $A_{ij}$！

伴随矩阵的核心公式：

$AA^* = A^*A = |A|E$

这是伴随矩阵最重要的性质，也是推导逆矩阵公式的基础。

伴随矩阵的性质（$A$ 为 $n$ 阶方阵，$n \ge 2$）：

性质	公式
与逆的关系	$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$（$A$ 可逆时）
伴随的行列式	$|A^*| = |A|^{n-1}$
伴随的秩	$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A)=n \ 1, & r(A)=n-1 \ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}$
伴随的伴随	$(A^*)^* = |A|^{n-2}A$
转置	$(A^T)^* = (A^*)^T$
数乘	$(kA)^* = k^{n-1}A^*$
乘积	$(AB)^* = B^*A^*$（$A,B$ 可逆时）

5.5 逆矩阵的运算性质

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k \neq 0$）
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ← 顺序反转
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $|A^{-1}| = |A|^{-1} = \frac{1}{|A|}$

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二、记忆辅助

1. 伴随矩阵口诀："伴随是代数余子式的转置排列" —— $A^*$ 的 $(i,j)$ 位置放的是 $A_{ji}$，下标翻转
2. 核心公式：$AA^* = |A|E$ —— 这是万能公式，$A$ 可逆时两边除以 $|A|$ 即得 $A^{-1}$
3. 伴随的秩三种情况：满秩→满秩，差一→秩1，差更多→秩0 —— 记忆"$r(A^*)$ 只看 $r(A)$ 离 $n$ 差多少"
4. 逆的穿脱律：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，与 $(AB)^T = B^T A^T$ 类似，都是顺序反转

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三、例题精解

例1：求逆矩阵

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 5 & 7 \ 3 & 7 & 9 \end{pmatrix}$，求 $A^{-1}$。

第一步：审题与分析 三阶矩阵求逆，可用伴随矩阵法或初等行变换法（$(A|E) \to (E|A^{-1})$）。

第二步：选择方法 先验证 $|A| \neq 0$，再用初等行变换法（比伴随矩阵法更适合三阶以上）。

第三步：完整计算

$|A| = 1(45-49) - 2(18-21) + 3(14-15) = 1(-4) - 2(-3) + 3(-1) = -4+6-3 = -1 \neq 0$

$A$ 可逆。用初等行变换：

$(A|E) = \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 7 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$r_3 - r_2$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)$

$r_3 \times (-1)$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

$r_2 - r_3$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

$r_1 - 3r_3$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & -2 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

$r_1 - 2r_2$：

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$

第四步：验证与总结

$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$

验证：$AA^{-1}$ 的 $(1,1)$ 元 $= 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 = 4-6+3 = 1$ ✓

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例2：伴随矩阵的性质应用

题目：设 $A$ 为3阶方阵，$|A| = 2$，求 $|A^*|$ 和 $|(2A)^{-1} - 3A^*|$。

第一步：审题与分析 利用 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 和逆矩阵、伴随矩阵的关系。

第二步：选择方法 代入公式直接计算。

第三步：完整计算

$|A^*| = |A|^{3-1} = 2^2 = 4$

由 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* = \frac{1}{2}A^*$，得 $A^* = 2A^{-1}$。

$(2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}$

$(2A)^{-1} - 3A^* = \frac{1}{2}A^{-1} - 3 \cdot 2A^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1} - 6A^{-1} = -\frac{11}{2}A^{-1}$

$|(2A)^{-1} - 3A^*| = \left|-\frac{11}{2}A^{-1}\right| = \left(-\frac{11}{2}\right)^3 |A^{-1}| = -\frac{1331}{8} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1331}{16}$

第四步：验证与总结$\boxed{|A^*| = 4, \quad |(2A)^{-1} - 3A^*| = -\frac{1331}{16}}$

关键公式：$|kA| = k^n|A|$，$|A^{-1}| = |A|^{-1}$。

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（判断可逆性、伴随矩阵性质）、填空题（求逆、伴随矩阵的行列式）、解答题（矩阵方程求解）
• 考查重点：伴随矩阵的性质（尤其是秩和行列式）、矩阵方程求解
• 命题趋势：伴随矩阵的秩的三种情况是高频选择题考点
• 分值占比：约5-8分

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五、易错点

1. 伴随矩阵下标翻转：$A^*$ 的 $(i,j)$ 元是 $A_{ji}$，不是 $A_{ij}$。这是定义级错误
2. $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$：不是 $kA^{-1}$。数乘的逆要把系数取倒数
3. $|A^*| = |A|^{n-1}$：指数是 $n-1$ 不是 $n$。当 $n=2$ 时 $|A^*| = |A|$，但这只是巧合
4. $(AB)^* = B^*A^*$：伴随矩阵的乘积也要反转顺序，且此公式仅在 $A,B$ 可逆时才严格成立

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第2章 §2.3-§2.4
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第2章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第3讲