数学一

线性代数

向量的线性组合与线性表示

定位信息

• 章节：第三章 向量 §3.1
• 编号：MATH-LIN-09
• 难度：★★☆☆☆
• 近5年考频：基础概念，每年涉及

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一、知识点讲解

9.1 向量的基本概念

n维向量：$n$ 个数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 组成的有序数组 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$（列向量）或 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$（行向量）。

零向量：$\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)^T$。

向量相等：同维向量对应分量相等。

9.2 线性组合

向量 $\beta$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 的线性组合，若存在常数 $k_1, k_2, \ldots, k_s$ 使得

$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s$

等价说法：$\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表示。

9.3 线性表示与方程组的关系

$\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表示 $\Leftrightarrow$ 方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_s\alpha_s = \beta$ 有解

$\Leftrightarrow$ $r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta)$

即系数矩阵的秩 $=$ 增广矩阵的秩。

9.4 线性表示的唯一性

$\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 唯一线性表示 $\Leftrightarrow$ 方程组有唯一解 $\Leftrightarrow$ $r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta) = s$

（即系数矩阵满列秩）

9.5 向量组的等价

若向量组 $A: \alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 中每个向量都可由向量组 $B: \beta_1, \ldots, \beta_t$ 线性表示，且反之亦然，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记 $A \cong B$。

等价的性质：

• 反身性：$A \cong A$
• 对称性：$A \cong B \Rightarrow B \cong A$
• 传递性：$A \cong B, B \cong C \Rightarrow A \cong C$

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二、记忆辅助

1. 线性表示 = 方程组有解：$\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s$ 本质上就是在解方程 $Ax = \beta$
2. 唯一表示 = 满列秩：$r(A) = s$（列数）时解唯一，即列向量线性无关时系数唯一
3. 向量组等价 = 互相表示：两个向量组能互相线性表示，等价于它们的秩相等且可以互相线性表示

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三、例题精解

例1：判断线性表示

题目：设 $\alpha_1 = (1,2,3)^T$，$\alpha_2 = (2,3,4)^T$，$\alpha_3 = (3,4,6)^T$，$\beta = (1,1,2)^T$。问 $\beta$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示？若能，求表示系数。

第一步：审题与分析 判断方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$ 是否有解。

第二步：选择方法 对增广矩阵 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \beta)$ 做初等行变换。

第三步：完整计算

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \beta) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 6 & 2 \end{array}\right)$

$r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1$：

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -3 & -1 \end{array}\right)$

$r_3 - 2r_2$：

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$

$r(A) = 3 = r(A|\beta)$，有解。回代：

从第3行：$x_3 = 1$

从第2行：$-x_2 - 2(1) = -1 \Rightarrow x_2 = -1$

从第1行：$x_1 + 2(-1) + 3(1) = 1 \Rightarrow x_1 = 0$

第四步：验证与总结$\boxed{\beta = 0 \cdot \alpha_1 + (-1)\alpha_2 + 1 \cdot \alpha_3 = -\alpha_2 + \alpha_3}$

验证：$-\alpha_2 + \alpha_3 = -(2,3,4)^T + (3,4,6)^T = (1,1,2)^T = \beta$ ✓

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例2：含参数的线性表示

题目：设 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$，$\alpha_2 = (1,2,3)^T$，$\alpha_3 = (1,3,t)^T$。问 $t$ 取何值时，$\beta = (1,2,3)^T$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示？

第一步：审题与分析 需要 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta)$。

第二步：选择方法 对增广矩阵做行变换，讨论参数 $t$。

第三步：完整计算

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \beta) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & t & 3 \end{array}\right)$

$r_2 - r_1, r_3 - r_1$：

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & t-1 & 2 \end{array}\right)$

$r_3 - 2r_2$：

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & t-5 & 0 \end{array}\right)$

• 若 $t \neq 5$：$r(A) = 3 = r(A|\beta)$，有唯一解，$\beta$ 可唯一表示
• 若 $t = 5$：$r(A) = 2 = r(A|\beta)$，有无穷多解，$\beta$ 可表示但不唯一

第四步：验证与总结$t$ 为任意实数时 $\beta$ 都可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示}$。$t \neq 5$ 时唯一，$t = 5$ 时不唯一。

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（判断线性表示的存在性/唯一性）、解答题（含参数的讨论）
• 考查重点：线性表示与方程组有解条件的等价转化
• 命题趋势：含参数的线性表示问题是高频考点，需要分类讨论
• 分值占比：约3-5分

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五、易错点

1. 线性表示 ≠ 唯一表示：能线性表示只说明方程组有解，系数是否唯一还要看秩与列数的关系
2. 零向量的特殊性：零向量可由任意向量组线性表示（取系数全为0），但不意味着向量组线性相关
3. 向量组等价要求互相表示：仅 $A$ 能表示 $B$ 不够，必须 $B$ 也能表示 $A$

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第3章 §3.1
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第3章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第5讲