数学一

线性代数

向量组的线性相关与线性无关

定位信息

• 章节：第三章 向量 §3.2
• 编号：MATH-LIN-10
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：高频核心考点，每年必考

---

一、知识点讲解

10.1 线性相关的定义

向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 线性相关：存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \ldots, k_s$ 使得

$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = \mathbf{0}$

线性无关：只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0$ 时上式才成立。

10.2 线性相关性的判定

定理1（与方程组的关系）：$\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 齐次方程组 $(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)x = 0$ 有非零解。

$\Leftrightarrow$ $r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) < s$（列数）

定理2（个数与维数的关系）：

• $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关
• 若 $s > n$，则 $s$ 个 $n$ 维向量必线性相关

定理3（部分与整体）：

• 部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关
• 整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关
• 反之不成立

定理4（高维与低维）：

• 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性无关，则每个向量增加分量后仍线性无关
• 若增加分量后线性相关，则原向量组线性相关

定理5（含零向量）：含零向量的向量组必线性相关。

定理6（单个向量）：单个非零向量线性无关；单个零向量线性相关。

定理7（两个向量）：$\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\alpha_1 = k\alpha_2$（成比例）。

10.3 线性相关性的几何意义

• 二维空间：两个向量线性相关 $\Leftrightarrow$ 共线
• 三维空间：三个向量线性相关 $\Leftrightarrow$ 共面
• 一般情况：线性相关意味着存在"冗余"向量

10.4 线性相关性与秩的关系

条件	结论
$r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = s$	线性无关
$r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) < s$	线性相关
$s > n$（向量个数大于维数）	必线性相关
$s = n$	线性无关 $\Leftrightarrow$ $

---

二、记忆辅助

1. "相关有非零解，无关只有零解" —— 线性相关性本质上就是齐次方程组解的情况
2. "部分推整体"方向：部分相关→整体相关；整体无关→部分无关。"由小推大，方向固定"
3. "$n+1$ 个 $n$ 维向量必相关" —— "人多必有冗余"，维数是上限
4. "相关 = 能互相表示"：若 $\alpha_1, \alpha_2$ 相关，则 $\alpha_1 = k\alpha_2$，即一个能用另一个表示

---

三、例题精解

例1：判断线性相关性

题目：判断向量组 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$，$\alpha_2 = (1,2,3)^T$，$\alpha_3 = (2,3,4)^T$ 的线性相关性。

第一步：审题与分析 3个3维向量，可以计算行列式或做行变换求秩。

第二步：选择方法 计算 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，若 $r < 3$ 则线性相关。

第三步：完整计算

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

$r_2 - r_1, r_3 - r_1$：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$r_3 - 2r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r = 2 < 3$，所以向量组线性相关。

第四步：验证与总结$\boxed{\text{线性相关}}$。注意 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$，验证：$(1,1,1)^T + (1,2,3)^T = (2,3,4)^T$ ✓

---

例2：含参数的线性相关性

题目：设 $\alpha_1 = (1,1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,0,1)^T$，$\alpha_3 = (0,1,a)^T$。问 $a$ 为何值时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关？

第一步：审题与分析 3个3维向量，线性相关 $\Leftrightarrow$ $|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = 0$。

第二步：选择方法 计算行列式。

第三步：完整计算

$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{vmatrix}$

按第1行展开：

$= 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0$

$= 1(0 - 1) - 1(a - 0) = -1 - a$

令 $-1 - a = 0$，得 $a = -1$。

第四步：验证与总结$\boxed{a = -1}$ 时线性相关。验证：$a=-1$ 时 $\alpha_3 = (0,1,-1)^T$，$\alpha_1 - \alpha_2 = (0,1,-1)^T = \alpha_3$，即 $\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 = 0$。✓

---

四、考情分析

• 题型分布：选择题（判断相关性、相关性的性质辨析）、证明题（相关性的证明）
• 考查重点：线性相关性的判定方法、相关与无关的性质、含参数的讨论
• 命题趋势：近年常将线性相关性与秩、方程组综合考查
• 分值占比：约3-6分

---

五、易错点

1. "相关"不是"成比例"：3个以上向量的线性相关不要求两两成比例，只要存在非平凡的线性组合为零即可
2. 方向性错误：部分相关推出整体相关，但整体相关不能推出部分相关（整体相关可能是某几个向量的相关导致的）
3. $r < s$ 才是相关：$r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) < s$（$s$ 为向量个数）才是线性相关。如果 $r = s$ 则线性无关。不要与 $r < n$（维数）混淆
4. 含零向量的判断：向量组中有零向量则必线性相关，但这不意味着零向量的系数非零——其他系数可以为零

---

六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第3章 §3.2
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第3章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第5讲