数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-13：微分的概念与应用

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：导数的定义与求导法则（MATH-CAL-09、MATH-CAL-10）。微分与导数密切相关，可导是可微的充要条件。
• 知识网络定位：微分是导数概念的另一视角——从"变化率"转向"线性近似"。上承导数定义，下启微分中值定理、泰勒展开，以及多元函数的全微分。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。单独出题较少，但概念理解常在选择题中考查，且微分思想贯穿后续多个知识点。

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二、知识点讲解

2.1 微分的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可以表示为

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数，$o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，$A \cdot \Delta x$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记为 $dy\big|_{x=x_0} = A \cdot \Delta x$。

直观解释：微分 $dy$ 是函数增量 $\Delta y$ 的线性主部。当 $\Delta x$ 很小时，$\Delta y \approx dy = A \cdot \Delta x$，即用一个线性函数来近似替代原来的（可能很复杂的）函数增量。

2.2 可微与可导的关系

定理：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $A = f'(x_0)$。

证明思路：

（$\Rightarrow$）若可微，$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$，两边除以 $\Delta x$ 取极限得 $f'(x_0) = A$。

（$\Leftarrow$）若可导，$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。令 $\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} - f'(x_0)$，则 $\alpha \to 0$（$\Delta x \to 0$），故 $\Delta y = f'(x_0)\Delta x + \alpha \Delta x = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$，即可微。

因此，微分的最终表达式为：

$dy = f'(x) \, dx$

其中 $dx = \Delta x$ 是自变量的微分（定义 $dx = \Delta x$）。

2.3 微分的几何意义

在曲线 $y = f(x)$ 上取一点 $(x_0, f(x_0))$，当自变量有增量 $\Delta x$ 时：

• $\Delta y$ 是曲线上的实际纵坐标增量
• $dy = f'(x_0) \Delta x$ 是切线上的纵坐标增量

微分就是用切线段的纵坐标增量来近似代替曲线段的纵坐标增量。

2.4 微分的运算法则

由 $dy = f'(x) dx$，所有求导法则都有对应的微分法则：

求导法则	微分法则
$(u \pm v)' = u' \pm v'$	$d(u \pm v) = du \pm dv$
$(uv)' = u'v + uv'$	$d(uv) = v\,du + u\,dv$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$	$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}$
$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)$	$dy = f'(u)\,du$（一阶微分形式不变性）

2.5 一阶微分形式不变性

核心性质：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy = f'(u)\,du$ 的形式不变。

• 当 $u$ 是自变量时：$dy = f'(u)\,du$
• 当 $u = g(x)$ 是中间变量时：$dy = f'(u) \cdot g'(x)\,dx = f'(u)\,du$（因为 $du = g'(x)\,dx$）

这一性质在换元积分法中有重要应用。

2.6 微分在近似计算中的应用

当 $|\Delta x|$ 很小时：

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

常用近似公式（当 $|x|$ 很小时）：

• $\sin x \approx x$
• $\tan x \approx x$
• $e^x \approx 1 + x$
• $\ln(1+x) \approx x$
• $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：微分定义的"拆分"记忆

$\Delta y = \underbrace{f'(x_0) \Delta x}_{\text{线性主部} = dy} + \underbrace{o(\Delta x)}_{\text{高阶无穷小}}$

微分 = 变化率 × 自变量增量 = "速度 × 时间 = 位移"。

技巧2：一阶微分形式不变性的核心思想

$dy = f'(u)\,du$ 不管 $u$ 是什么，形式永远一样。这就像物理公式 $v = ds/dt$，无论 $s$ 是直接测量的还是通过其他量间接计算的，公式形式不变。

技巧3：可导、可微、连续的关系总结

关系	结论
可导 $\iff$ 可微	充要条件
可导 $\Rightarrow$ 连续	充分条件
连续 $\not\Rightarrow$ 可导	反例：$|x|$
可微 $\Rightarrow$ 连续	充分条件（与可导等价）

口诀："可导可微是等价，都比连续强一层"。

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查微分的计算及近似计算应用。

题目：利用微分计算 $\sqrt{4.02}$ 的近似值。

审题分析：$\sqrt{4.02} = \sqrt{4 + 0.02}$，令 $f(x) = \sqrt{x}$，$x_0 = 4$，$\Delta x = 0.02$。

解题思路：用 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$。

完整步骤：

$f(x) = \sqrt{x}, \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f(4) = 2, \quad f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

$\sqrt{4.02} \approx f(4) + f'(4) \times 0.02 = 2 + \frac{1}{4} \times 0.02 = 2 + 0.005 = 2.005$

验证：$\sqrt{4.02} = 2.0049937\ldots$，近似值 $2.005$ 误差极小。

方法反思：微分近似的关键是选择合适的 $x_0$——使得 $f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$ 容易计算，且 $|\Delta x|$ 足够小。

例题2（中等提升）

命题意图：考查微分形式不变性的理解和运用。

题目：设 $y = e^{\sin x}$，求 $dy$。

审题分析：复合函数求微分，可以利用微分形式不变性逐层展开。

解题思路：将 $y = e^u$，$u = \sin x$，利用 $dy = e^u \, du$。

完整步骤：

方法一（先求导再写微分）：

$y' = e^{\sin x} \cdot \cos x$

$dy = e^{\sin x} \cos x \, dx$

方法二（微分形式不变性逐层展开）：

$dy = e^{\sin x} \, d(\sin x) = e^{\sin x} \cdot \cos x \, dx$

两种方法结果一致。

方法反思：微分形式不变性使得我们可以像求导一样"逐层"计算微分，只是最后乘以 $dx$。在积分换元中，这种思路有重要应用。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年出现约2次，属于中频考点。
• 常见题型：选择题（可微与可导的关系判断）、填空题（求微分或近似计算）。
• 分值占比：直接考查约3–4分。
• 命题趋势：微分概念的理解性考查有增加趋势，特别是微分形式不变性的应用。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1

• 错误表现：将 $\Delta y$ 和 $dy$ 混为一谈。
• 错误原因：$\Delta y$ 是函数的实际增量，$dy$ 是线性近似，二者相差 $o(\Delta x)$。
• 正确理解：$dy = \Delta y - o(\Delta x)$，只有当 $\Delta x \to 0$ 时 $dy$ 才趋近于 $\Delta y$。

易错点2

• 错误表现：认为"连续就可微"。
• 错误原因：混淆了连续、可导、可微的逻辑关系。
• 正确理解：可导 $\iff$ 可微，连续是比可导更弱的条件。

易错点3

• 错误表现：近似计算时选取的 $x_0$ 离目标值太远，导致误差过大。
• 错误原因：微分近似只在 $|\Delta x|$ 很小时才准确。
• 正确做法：选择 $x_0$ 使得 $x_0 + \Delta x$ 恰好是目标值，且 $f(x_0)$、$f'(x_0)$ 容易计算。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数微分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）