MATH-PRO-08 随机变量与分布函数

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第二章 随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-08
前置知识	MATH-PRO-01~07（第一章全部）
后续关联	MATH-PRO-09（离散型）、MATH-PRO-10（连续型）
考试地位	第二章基础，分布函数贯穿全书
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 随机变量的定义

定义1（随机变量）：设随机试验的样本空间为 $\Omega$，若对每个 $\omega \in \Omega$，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，则称 $X = X(\omega)$ 为随机变量，简记为 $X$。

随机变量通常用大写字母 $X, Y, Z$ 表示，其取值用小写字母 $x, y, z$ 表示。

理解要点：随机变量是"从样本空间到实数的映射"，它将随机试验的结果数量化。

分类：

• 离散型：取值为有限个或可列无穷个（如掷骰子的点数）
• 连续型：取值充满某个区间（如灯泡寿命）
• 非离散非连续型：考研不要求

2. 分布函数

定义2（分布函数）：设 $X$ 为随机变量，$x$ 为任意实数，函数

$\boxed{F(x) = P(X \leq x), \quad -\infty < x < +\infty}$

称为 $X$ 的分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）。

3. 分布函数的性质

性质1（单调不减）：若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \leq F(x_2)$。

性质2（右连续）：$\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$，即 $F(x)$ 在每一点右连续。

性质3（极限）： $\lim_{x \to -\infty} F(x) = F(-\infty) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = F(+\infty) = 1$

性质4（概率计算）： $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$$P(X = a) = F(a) - F(a^-)$

其中 $F(a^-) = \lim_{x \to a^-} F(x)$ 为左极限。

重要结论：满足性质1~3的函数一定是某个随机变量的分布函数。性质1~3是充要条件。

4. 分布函数的充要条件判定

一个函数 $F(x)$ 是分布函数 $\iff$ 同时满足：

1. 单调不减
2. 右连续
3. $F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$

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三、记忆辅助

1. 分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x)$——"小于等于 $x$ 的累积概率"。
2. 四大性质：单调不减、右连续、$F(-\infty)=0$、$F(+\infty)=1$——"单、右、零、一"。
3. 概率计算：$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$——"上减下"。
4. 跳跃点：$P(X = a) = F(a) - F(a^-)$——在间断点处，$F$ 的跳跃高度等于 $X$ 取该点的概率。

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四、例题精解

【例题1】由分布函数求概率

题目：设随机变量 $X$ 的分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2 \end{cases}$

求 $P(X = 1)$，$P(0 < X < 2)$。

解答：

第一步：求 $P(X = 1)$

$P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$

第二步：求 $P(0 < X < 2)$

$P(0 < X < 2) = P(0 < X \leq 2) - P(X = 2)$$= [F(2) - F(0)] - [F(2) - F(2^-)]$$= F(2^-) - F(0) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$

第三步：验证分布函数的性质

• 单调不减：$0 \leq \frac{1}{2} \leq \frac{2}{3} \leq 1$ ✓
• 右连续：各分段点处右连续 ✓
• $F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$ ✓

第四步：结论

$P(X = 1) = \frac{1}{6}$，$P(0 < X < 2) = \frac{2}{3}$。

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【例题2】判定分布函数

题目：判断下列函数是否可以作为某个随机变量的分布函数：

$F(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+x^2}, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$

解答：

第一步：检验单调不减

当 $x < 0$ 时，$F'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} > 0$（因为 $x < 0$），故 $F(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递增。

当 $x \geq 0$ 时，$F(x) = 1$ 为常数。

在 $x = 0$ 处：$F(0^-) = 1 = F(0)$，连续。整体单调不减 ✓。

第二步：检验右连续

各分段内部连续，分段点 $x=0$ 处右连续 ✓。

第三步：检验极限

$F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1+x^2} = 0$ ✓ $F(+\infty) = 1$ ✓

第四步：结论

三个条件全部满足，$F(x)$ 可以作为某个随机变量的分布函数 ✓。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择题	分布函数性质的判断	4分
高频	计算题	由分布函数求概率	4-10分
中频	证明题	判定某函数是否为分布函数	10分

命题规律：

• 分布函数的性质是选择题常考点。
• "由分布函数求概率"是基本功，必须熟练。
• $P(X=a) = F(a) - F(a^-)$ 是离散+连续混合型的关键公式。

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六、易错点

1. 分布函数定义中的"$\leq$"：$F(x) = P(X \leq x)$，是"$\leq$"不是"$<$"。$P(X < x) = F(x^-)$。

2. 右连续vs左连续：分布函数是右连续，不是左连续。在间断点处 $F(x) = F(x^+)$，但 $F(x) \neq F(x^-)$（可能）。

3. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ 中的不等号方向：左开右闭。若要求 $P(a \leq X \leq b)$，需额外加 $P(X = a)$。

4. 连续型随机变量中 $P(X = a) = 0$：此时分布函数连续，$F(a) = F(a^-)$。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第2章 §2.1-2.2
大纲	考研数学一大纲"随机变量与分布函数"
重点	分布函数性质、概率计算为必考内容