数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-22：有理函数与三角函数积分

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：不定积分的基本公式（MATH-CAL-19）、换元积分法（MATH-CAL-20）、分部积分法（MATH-CAL-21）、多项式除法和部分分式分解（代数基础）。本单元是积分技巧的综合运用。
• 知识网络定位：本单元是不定积分计算方法的专项应用，上承换元法与分部积分法，专门解决有理函数和三角函数这两类特殊函数的积分问题。这些技巧在定积分计算中也会频繁使用。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。有理函数积分是考研解答题的经典题型，三角有理式的万能替换也是常考内容。

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二、知识点讲解

2.1 有理函数的积分

定义：有理函数是指两个多项式之比

$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0}$

基本思路：任何有理函数的不定积分都可以求出（有理函数的原函数一定是初等函数）。方法是将有理函数分解为部分分式，再逐项积分。

步骤1：化为真分式

若 $\deg P \geq \deg Q$（假分式），先做多项式除法：

$\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$

其中 $S(x)$ 为多项式，$\frac{R(x)}{Q(x)}$ 为真分式（$\deg R < \deg Q$）。

步骤2：部分分式分解

将分母 $Q(x)$ 在实数范围内分解因式，然后将真分式展开为部分分式之和。

分母的因式类型	对应的部分分式形式
单因子 $(x-a)$	$\frac{A}{x-a}$
重因子 $(x-a)^k$	$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$
不可约二次因子 $x^2+px+q$	$\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$
不可约二次重因子 $(x^2+px+q)^k$	$\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q} + \cdots + \frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}$

步骤3：逐项积分

• $\int \frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C$
• $\int \frac{A}{(x-a)^n}\,dx = \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \geq 2)$
• $\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx$：先配方，再用换元法化为标准形式

对于 $\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx$ 的处理：

$x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q - \frac{p^2}{4}\right)$

令 $t = x + \frac{p}{2}$，$a^2 = q - \frac{p^2}{4}$（注意 $p^2 - 4q < 0$，故 $a^2 > 0$），则

$\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx = \frac{A}{2}\ln(x^2+px+q) + \frac{B - \frac{Ap}{2}}{a}\arctan\frac{t}{a} + C$

2.2 三角有理式的积分

定义：三角有理式是指 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理函数 $R(\sin x, \cos x)$。

方法一：万能替换（万能代换）

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt$

万能替换可以将任何三角有理式化为关于 $t$ 的有理函数，从而可以用部分分式法求解。

适用性：万能替换是"万能"的，但计算量通常较大。在考研中，应优先尝试其他更简便的方法。

方法二：特殊技巧

被积函数特征	推荐方法
$R(\sin x, \cos x)$ 满足 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$	令 $t = \tan x$
$R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$	令 $t = \cos x$
$R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$	令 $t = \sin x$
$\int \sin^m x\cos^n x\,dx$，$m$ 或 $n$ 为奇数	拆出一个 $\sin x$ 或 $\cos x$ 凑微分
$\int \sin^m x\cos^n x\,dx$，$m,n$ 均为偶数	降幂公式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$

方法三：三角恒等式

• $\sin mx\cos nx = \frac{1}{2}[\sin(m+n)x + \sin(m-n)x]$
• $\sin mx\sin nx = \frac{1}{2}[\cos(m-n)x - \cos(m-n)x]$
• $\cos mx\cos nx = \frac{1}{2}[\cos(m+n)x + \cos(m-n)x]$

2.3 简单无理函数的积分

对于含 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 型的被积函数，令 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可将被积函数化为有理函数。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：有理函数积分的"三步走"口诀

"先除后拆再积分——除法化真分式，拆项分解部分分式，逐项用公式。"

技巧2：万能替换的公式速记

令 $t = \tan\frac{x}{2}$：

• $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$（分子：$2t$，分母：$1+t^2$）
• $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$（分子：$1-t^2$）
• $dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt$

速记：$\sin$ 的分子是"2倍的 $t$"，$\cos$ 的分子是"1减 $t$ 平方"，$dx$ 带一个独立的 $\frac{2}{1+t^2}$。

技巧3：部分分式类型速查表

分母因式	部分分式	待定系数个数
$(x-a)$	$\frac{A}{x-a}$	1
$(x-a)^2$	$\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$	2
$x^2+px+q$（不可约）	$\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$	2
$(x-a)(x^2+px+q)$	$\frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+px+q}$	3

技巧4：$\int \sin^m x\cos^n x\,dx$ 的处理策略

• $m$ 为奇数：拆出一个 $\sin x$，令 $t = \cos x$
• $n$ 为奇数：拆出一个 $\cos x$，令 $t = \sin x$
• $m,n$ 均为偶数：用降幂公式

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四、例题与精解

例1（基础——有理函数积分）

命题意图：考查部分分式分解与有理函数积分的基本方法。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2-3x+2}\,dx$。

审题分析：分母可分解因式：$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$。被积函数为真分式，可直接做部分分式分解。

解题思路：将被积函数分解为两个简单分式之和。

完整步骤：

设 $\frac{x+1}{x^2-3x+2} = \frac{x+1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

通分：$x+1 = A(x-2) + B(x-1)$

令 $x = 1$：$2 = A(1-2) = -A$，得 $A = -2$

令 $x = 2$：$3 = B(2-1) = B$，得 $B = 3$

验证：$-2(x-2) + 3(x-1) = -2x+4+3x-3 = x+1$ ✓

$\int \frac{x+1}{x^2-3x+2}\,dx = \int \frac{-2}{x-1}\,dx + \int \frac{3}{x-2}\,dx$

$= -2\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C$

方法反思：对于分母可分解为一次因式乘积的有理函数，部分分式分解后直接用对数公式积分。代入特殊值（令分母因式为零的 $x$ 值）是求待定系数的最快方法。

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例2（中等——三角有理式积分）

命题意图：考查三角有理式积分的处理技巧。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int \frac{1}{\sin x + \cos x}\,dx$。

审题分析：被积函数为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的线性组合的倒数。可以尝试万能替换，但更简便的方法是利用辅助角公式。

解题思路：利用 $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ 化简。

完整步骤：

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

因此

$\int \frac{1}{\sin x + \cos x}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \csc\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\csc\left(x+\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right| + C$

也可以写成更简洁的形式。利用 $\int \csc u\,du = \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right| + C$：

$= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right| + C$

方法反思：对于 $a\sin x + b\cos x$ 型的分母，优先使用辅助角公式 $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ 化简，而非直接使用万能替换。

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五、考情分析

• 考查频次：有理函数积分和三角有理式积分在近5年真题中合计出现约 4-6次。
• 常见题型：解答题（直接计算不定积分或作为定积分计算的步骤）。
• 分值占比：解答题8-10分。
• 命题趋势：有理函数积分几乎每年都有涉及，三角有理式积分出现频率稍低但也是重要考点。近年来有将有理函数积分与有理函数定积分、反常积分结合的趋势。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：部分分式分解时形式设错

• 错误表现：将 $\frac{x+1}{(x-1)(x^2+1)}$ 分解为 $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2+1}$（漏了分子的 $x$ 项）。
• 错误原因：不可约二次因式对应的部分分式分子应为一次式 $Ax+B$，而非常数。
• 正确做法：$\frac{x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。

易错点2：万能替换后忘记 $dx$ 的变换

• 错误表现：令 $t = \tan\frac{x}{2}$ 后，只替换了 $\sin x$ 和 $\cos x$，忘记 $dx = \frac{2}{1+t^2}dt$。
• 错误原因：对换元法的完整性认识不足。
• 正确做法：换元时必须同时替换被积函数中的所有 $x$（包括 $dx$）。

易错点3：有理函数积分中漏掉多项式部分

• 错误表现：对假分式直接做部分分式分解，没有先做多项式除法。
• 错误原因：部分分式分解只适用于真分式。
• 正确做法：分子次数 $\geq$ 分母次数时，先做多项式除法，再对余式做部分分式分解。

易错点4：三角函数降幂时出错

• 错误表现：将 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ 错记为 $\frac{1+\cos 2x}{2}$。
• 错误原因：二倍角公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ 变形出错。
• 正确做法：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$。记住 $\sin$ 对应减号，$\cos$ 对应加号。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了有理函数和三角有理式两大类特殊函数的积分方法，它们是不定积分技巧的综合体现。