数学一

高等数学

全微分方程与可降阶高阶方程

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一、定位信息

项目	内容
编号	MATH-CAL-54
章节	第八章 · 常微分方程 · 第3单元
知识层级	重点拓展
考试频率	★★★☆（全微分方程偶考，可降阶方程常考）
关联单元	MATH-CAL-52（一阶方程基础）、MATH-CAL-55（二阶常系数方程）

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二、知识点讲解

2.1 全微分方程（恰当方程）

定义：若存在二元函数 $u(x, y)$，使得

$du = P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy$

则称 $P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy = 0$ 为全微分方程（恰当方程），其通解为 $u(x, y) = C$。

判定定理：设 $P(x, y)$、$Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 上具有连续一阶偏导数，则

$P\,dx + Q\,dy = 0 \text{ 是全微分方程} \iff \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

在 $D$ 内恒成立。

求解方法：

方法一（偏积分法）：由 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = P(x, y)$ 对 $x$ 积分得：

$u(x, y) = \int P(x, y)\,dx + \varphi(y)$

其中 $\varphi(y)$ 是待定函数。再由 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = Q(x, y)$ 确定 $\varphi'(y)$：

$\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P\,dx\right) + \varphi'(y) = Q(x, y)$

解出 $\varphi'(y)$ 后积分得 $\varphi(y)$。

方法二（凑微分法）：将 $P\,dx + Q\,dy$ 凑成某个函数的全微分 $du$，适用于简单情形。

方法三（线积分法）：

$u(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P\,dx + Q\,dy$

取折线路径：先从 $(x_0, y_0)$ 到 $(x, y_0)$，再到 $(x, y)$：

$u(x, y) = \int_{x_0}^{x} P(t, y_0)\,dt + \int_{y_0}^{y} Q(x, t)\,dt$

2.2 积分因子

当 $\dfrac{\partial P}{\partial y} \neq \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 时，方程不是全微分方程。若存在函数 $\mu(x, y) \neq 0$，使得

$\mu P\,dx + \mu Q\,dy = 0$

成为全微分方程，则 $\mu(x, y)$ 称为积分因子。

常见情形：若 $\dfrac{1}{Q}\left(\dfrac{\partial P}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial x}\right)$ 仅是 $x$ 的函数，则存在仅依赖 $x$ 的积分因子：

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\right)dx}$

类似地，若 $\dfrac{1}{P}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)$ 仅是 $y$ 的函数，则存在仅依赖 $y$ 的积分因子。

2.3 可降阶的高阶微分方程

以下三种类型的高阶方程可以通过适当的变量替换降低阶数：

类型一：$y^{(n)} = f(x)$ 型

直接对 $x$ 逐次积分 $n$ 次即可。每积分一次增加一个任意常数。

类型二：$y'' = f(x, y')$ 型（不显含 $y$）

令 $p = y' = \dfrac{dy}{dx}$，则 $y'' = \dfrac{dp}{dx}$，方程变为：

$\frac{dp}{dx} = f(x, p)$

这是关于 $p$ 和 $x$ 的一阶方程。求出 $p = p(x, C_1)$ 后，再积分 $y = \int p(x, C_1)\,dx + C_2$。

类型三：$y'' = f(y, y')$ 型（不显含 $x$）

令 $p = y' = \dfrac{dy}{dx}$，将 $y$ 视为自变量，则：

$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$

方程变为：

$p\frac{dp}{dy} = f(y, p)$

这是关于 $p$ 和 $y$ 的一阶方程。求出 $p = p(y, C_1)$ 后，由 $\dfrac{dy}{dx} = p(y, C_1)$ 分离变量求 $y$。

类型对比表：

类型	方程形式	换元	降阶后方程
不显含 $y$	$y'' = f(x, y')$	$p = y'$	$\dfrac{dp}{dx} = f(x, p)$
不显含 $x$	$y'' = f(y, y')$	$p = y'$，$y'' = p\dfrac{dp}{dy}$	$p\dfrac{dp}{dy} = f(y, p)$

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三、记忆辅助

1. 全微分方程判定口诀"偏P对y等于偏Q对x"：$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 是全微分方程的充要条件（单连通区域上）。

2. 可降阶方程口诀"缺谁换谁"：

   • 不显含 $y$：令 $p = y'$，对 $x$ 降阶
   • 不显含 $x$：令 $p = y'$，$y'' = p\dfrac{dp}{dy}$，对 $y$ 降阶

3. 凑微分法常用公式：

   • $x\,dy + y\,dx = d(xy)$
   • $\dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2} = d\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$
   • $\dfrac{x\,dx + y\,dy}{x^2+y^2} = d\!\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2)\right)$

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四、例题精解

例题1：全微分方程

题目：验证 $(3x^2 + 2xy - y^2)\,dx + (x^2 - 2xy - 3y^2)\,dy = 0$ 为全微分方程，并求通解。

第一步：验证全微分条件

$P = 3x^2 + 2xy - y^2$，$Q = x^2 - 2xy - 3y^2$。

$\frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 2y$

$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$，方程为全微分方程。✓

第二步：用偏积分法求 $u(x, y)$

由 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = P = 3x^2 + 2xy - y^2$，对 $x$ 积分：

$u = x^3 + x^2 y - xy^2 + \varphi(y)$

第三步：确定 $\varphi(y)$

由 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = Q$：

$x^2 - 2xy + \varphi'(y) = x^2 - 2xy - 3y^2$

$\varphi'(y) = -3y^2$

$\varphi(y) = -y^3 + C_1$

第四步：写出通解

$u = x^3 + x^2 y - xy^2 - y^3$

通解为：

$\boxed{x^3 + x^2 y - xy^2 - y^3 = C}$

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例题2：可降阶方程（不显含 $x$）

题目：求微分方程 $yy'' = (y')^2$ 满足 $y(0) = 1$，$y'(0) = -1$ 的特解。

第一步：识别类型

方程不显含 $x$，令 $p = y'$，则 $y'' = p\dfrac{dp}{dy}$。

第二步：代入并化简

$y \cdot p\frac{dp}{dy} = p^2$

若 $p \neq 0$，两边除以 $p$：

$y\frac{dp}{dy} = p$

第三步：分离变量求解

$\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}$

$\ln|p| = \ln|y| + C_1'$

$p = C_1 y \quad (C_1 = \pm e^{C_1'})$

即 $\dfrac{dy}{dx} = C_1 y$。再次分离变量：

$\frac{dy}{y} = C_1\,dx$

$\ln|y| = C_1 x + C_2'$

$y = C_2 e^{C_1 x} \quad (C_2 = \pm e^{C_2'})$

第四步：利用初始条件

$y(0) = 1$：$C_2 = 1$，故 $y = e^{C_1 x}$。

$y'(0) = -1$：$y' = C_1 e^{C_1 x}$，$y'(0) = C_1 = -1$。

特解为：

$\boxed{y = e^{-x}}$

验证：$y = e^{-x}$，$y' = -e^{-x}$，$y'' = e^{-x}$。$yy'' = e^{-x}\cdot e^{-x} = e^{-2x}$，$(y')^2 = e^{-2x}$。✓

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五、考情分析

考查维度	说明
题型分布	全微分方程：选择/填空为主；可降阶方程：填空或解答题
分值	4-8分
难度	★★★（全微分方程计算量较大；可降阶方程关键在于识别类型）
命题趋势	可降阶方程是二阶常系数方程的前置知识，常与之结合考查；全微分方程单独出题较少，但凑微分法是重要技巧
核心要求	快速识别方程类型，正确选择降阶方法

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六、易错点

1. 类型二与类型三的换元混淆：不显含 $x$ 时，$y'' = p\dfrac{dp}{dy}$ 而非 $\dfrac{dp}{dx}$。这是最常见的错误。记住：不显含 $x$ 时，把 $y$ 当自变量。

2. 全微分方程凑微分时丢项：用偏积分法时，对 $x$ 积分后得到的 $\varphi(y)$ 是 $y$ 的任意函数，不能遗漏。$\varphi'(y) = Q - \dfrac{\partial}{\partial y}\int P\,dx$ 中的每一项都要仔细计算。

3. 可降阶方程丢解：在 $yy'' = (y')^2$ 中除以 $p$ 时假设 $p \neq 0$，即 $y' \neq 0$。$y' = 0$ 即 $y = \text{const}$ 也是方程的解，但这里已被通解 $y = C_2 e^{C_1 x}$ 包含（$C_1 = 0$ 时）。

4. 积分因子求解时判断条件：使用积分因子公式前，必须验证 $\dfrac{1}{Q}\left(\dfrac{\partial P}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial x}\right)$ 是否仅含 $x$（或仅含 $y$），否则公式不适用。

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七、来源标注

来源	说明
教材	同济大学《高等数学》第七版 第七章 §7.5、§7.6
考试大纲	2025年全国硕士研究生入学考试数学一考试大纲 · 高等数学 · 全微分方程与可降阶方程
补充	积分因子法虽大纲未明确要求，但作为全微分方程的扩展，偶有涉及