数学一

线性代数

矩阵乘法与转置

定位信息

• 章节：第二章 矩阵 §2.2
• 编号：MATH-LIN-04
• 难度：★★☆☆☆
• 近5年考频：基础运算，每年必考

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一、知识点讲解

4.1 矩阵乘法的定义

设 $A = (a_{ij})_{m \times s}$，$B = (b_{ij})_{s \times n}$，则 $AB = C = (c_{ij})_{m \times n}$，其中

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj}$

关键条件：$A$ 的列数 $=$ $B$ 的行数（"内维匹配"），结果矩阵的行数 $=$ $A$ 的行数，列数 $=$ $B$ 的列数。

几何理解：$c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的内积（点积）。

4.2 矩阵乘法的性质

性质	公式	备注
结合律	$(AB)C = A(BC)$	✓ 成立
左分配律	$A(B+C) = AB + AC$	✓ 成立
右分配律	$(B+C)A = BA + CA$	✓ 成立
交换律	$AB = BA$？	✗ 一般不成立
消去律	$AB = AC \Rightarrow B=C$？	✗ 一般不成立
零因子	$AB = O \Rightarrow A=O$ 或 $B=O$？	✗ 一般不成立

$AB = BA$ 成立的特殊情况：

• $A$ 或 $B$ 为数量矩阵 $kE$
• $A$ 和 $B$ 为同一矩阵的多项式
• $A$ 和 $B$ 为同阶对角矩阵

4.3 矩阵乘法的行列式

$|AB| = |A| \cdot |B|$

推广：$|A_1 A_2 \cdots A_k| = |A_1| \cdot |A_2| \cdots |A_k|$，特别地 $|A^n| = |A|^n$。

4.4 矩阵的转置

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$，即行变列、列变行。

转置的运算性质：

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ ← 注意顺序反转！

4.5 矩阵的幂

$A^k = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text{个}}$，规定 $A^0 = E$。

幂的性质：

• $A^k A^l = A^{k+l}$
• $(A^k)^l = A^{kl}$
• $(AB)^k \neq A^k B^k$（一般情况，除非 $AB = BA$）

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二、记忆辅助

1. 矩阵乘法不交换：最经典的反例 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$
2. 转置的"翻转律"：$(AB)^T = B^T A^T$，穿脱原理——穿的时候从外到内，脱的时候从内到外
3. 零因子陷阱：$AB = O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$，这是矩阵代数与实数代数的根本区别

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三、例题精解

例1：矩阵乘法计算

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 3 \end{pmatrix}$，求 $AB$ 和 $BA$。

第一步：审题与分析$2 \times 2$ 矩阵相乘，内维匹配（都是2），结果为 $2 \times 2$。

第二步：选择方法 直接按定义计算。

第三步：完整计算

$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$AB \neq BA$，验证了矩阵乘法不满足交换律。$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \ 10 & 12 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 10 & 14 \end{pmatrix}}$

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例2：矩阵幂的计算

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^n$。

第一步：审题与分析 直接计算 $A^2, A^3$ 寻找规律。

第二步：选择方法 先算低次幂找规律，再用数学归纳法证明。

第三步：完整计算$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

猜测：$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

归纳证明：假设 $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则

$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

归纳成立。

第四步：验证与总结$\boxed{A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{pmatrix}}$。此矩阵为 Jordan 块 $J_2(1)$，其幂有简洁形式。

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四、考情分析

• 题型分布：矩阵乘法是几乎所有线性代数大题的基础运算
• 考查重点：矩阵乘法不交换的性质、转置的穿脱律、矩阵幂的计算
• 命题趋势：矩阵幂的计算（找规律+归纳法）是高频填空题考点
• 分值占比：直接考查约3-5分，间接应用贯穿全卷

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五、易错点

1. 矩阵乘法顺序：$AB$ 和 $BA$ 一般不同，计算时务必注意行×列的方向，不能随意交换
2. $(AB)^T = B^T A^T$：转置后顺序反转，不是 $A^T B^T$，这是高频考点也是高频错误
3. $(AB)^n \neq A^n B^n$：除非 $AB = BA$，否则不能分开取幂。例如 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 \neq \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 虽然这里恰好相等，但一般情况下不成立
4. 矩阵乘法与行列式混淆：$|AB| = |A||B|$ 成立，但 $|A+B| \neq |A|+|B|$，切勿类比

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第2章 §2.1-§2.3
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第2章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第2讲