MATH-CAL-05 两个重要极限

数学一

高等数学

两个重要极限

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一、定位信息

• 圈层：核心层
• 前置知识回顾：需掌握极限的定义与性质、夹逼准则、单位圆中 $\sin x$ 与 $x$ 的几何关系（扇形面积不等式 $\sin x < x < \tan x$，$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$）。
• 知识网络定位：两个重要极限是极限计算的核心工具，直接推导出等价无穷小 $\sin x \sim x$、$(1+x)^{\frac{1}{x}} \sim e$ 等重要结论，是求导公式（$\sin x$ 的导数、$e^x$ 的导数）的理论基础。
• 考点热度等级：H级（高频重点）——两个重要极限几乎每年必考，出现在选择题、填空题和解答题中，是极限计算的核心方法之一。

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二、知识点讲解

2.1 第一个重要极限

定理：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

证明思路（夹逼准则）：

不妨设 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$（$x \to 0^+$ 时，$x < 0$ 的情况类似）。

在单位圆中，设圆心角为 $x$（弧度），则：

• $\triangle OAB$ 的面积 $= \dfrac{1}{2} \sin x$
• 扇形 $OAB$ 的面积 $= \dfrac{1}{2} x$
• $\triangle OAC$ 的面积 $= \dfrac{1}{2} \tan x$

由面积关系：$\dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x$

即 $\sin x < x < \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$

由 $\sin x < x$ 得 $\dfrac{\sin x}{x} < 1$

由 $x < \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 得 $\cos x < \dfrac{\sin x}{x}$

因此 $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$

又 $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$，由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。$\square$

推广形式：若 $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = 0$ 且 $\varphi(x) \neq 0$（在 $x_0$ 附近），则：

$\lim_{x \to x_0} \frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} = 1$

这是"凑形式"的核心——只要 $\sin$ 后面的表达式与分母相同，且趋于 $0$，极限就是 $1$。

2.2 第二个重要极限

定理：

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

等价形式：

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

其中 $e \approx 2.71828\ldots$ 是自然对数的底。

证明思路（数列形式，单调有界准则）：

设 $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$。

单调性：利用二项式展开和均值不等式可以证明 $\{a_n\}$ 单调递增。

有界性：

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

（实际上用 $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots = 3$ 更简洁）

因此 $\{a_n\}$ 单调递增有上界，由单调有界准则，极限存在，记为 $e$。$\square$

推广形式：若 $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = 0$ 且 $\varphi(x) \neq 0$，则：

$\lim_{x \to x_0} [1 + \varphi(x)]^{\frac{1}{\varphi(x)}} = e$

更一般地，若 $\lim f(x) = 1$，$\lim g(x) = \infty$，且 $\lim [f(x) - 1] \cdot g(x) = A$，则：

$\lim f(x)^{g(x)} = e^A$

这是处理 $1^\infty$ 型不定式的万能公式。

2.3 $1^\infty$ 型不定式的标准处理

设 $\lim f(x) = 1$，$\lim g(x) = \infty$，则 $f(x)^{g(x)}$ 为 $1^\infty$ 型。

标准方法：

$\lim f(x)^{g(x)} = \lim e^{g(x) \ln f(x)} = e^{\lim g(x) \ln f(x)}$

令 $f(x) = 1 + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x) \to 0$，则 $\ln f(x) = \ln[1 + \alpha(x)] \sim \alpha(x)$

故 $\lim g(x) \ln f(x) = \lim g(x) \cdot \alpha(x) = \lim g(x) \cdot [f(x) - 1]$

因此：

$\boxed{\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x) - 1]}}$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：两个重要极限的"形状记忆"

• 第一个重要极限：$\dfrac{\sin \square}{\square} \to 1$（$\square \to 0$）——"正弦比自己"
• 第二个重要极限：$(1 + \square)^{\frac{1}{\square}} \to e$（$\square \to 0$）——"1加无穷小的无穷大次方"

技巧2：$1^\infty$ 型的"三步法" ① 写成 $e^{g(x) \ln f(x)}$ ② 用等价无穷小 $\ln[1 + (f(x)-1)] \sim f(x) - 1$ ③ 计算指数部分 $\lim g(x) \cdot [f(x) - 1]$

技巧3：两个重要极限的对比

对比项	第一个重要极限	第二个重要极限
标准形式	$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$	$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$
不定式类型	$\dfrac{0}{0}$	$1^\infty$
推广形式	$\dfrac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)}$，$\varphi(x) \to 0$	$[1+\varphi(x)]^{1/\varphi(x)}$，$\varphi(x) \to 0$
证明方法	夹逼准则	单调有界准则
核心应用	推出 $\sin x \sim x$ 等价无穷小	推出 $e^x$ 的导数、处理 $1^\infty$ 型

技巧4：常见 $1^\infty$ 型极限的速算公式$\lim [1 + \alpha(x)]^{g(x)} = e^{\lim \alpha(x) \cdot g(x)}$ 只需计算 $\alpha(x) \cdot g(x)$ 的极限 $A$，结果就是 $e^A$。

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查第一个重要极限的直接应用。

题目：求 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$。

审题分析：

• 代入 $x = 0$：分子 $= 0 - 0 = 0$，分母 $= 0$，为 $\dfrac{0}{0}$ 型
• $\tan x - \sin x = \sin x \left(\dfrac{1}{\cos x} - 1\right) = \dfrac{\sin x(1 - \cos x)}{\cos x}$

解题思路：将 $\tan x - \sin x$ 化简，利用 $\sin x \sim x$ 和 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$。

完整步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}}{x^3}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$

分别计算各因子：

• $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$（第一个重要极限）
• $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2} = \dfrac{1}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos x} = 1$

故原式 $= 1 \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}$

方法反思：遇到 $\dfrac{0}{0}$ 型，优先考虑化简后利用重要极限或等价无穷小。本题的易错点是直接对 $\tan x - \sin x$ 用洛必达法则，虽然可行但计算量较大。化简后分别利用重要极限更简洁。

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例题2（中等提升）

命题意图：考查第二个重要极限及 $1^\infty$ 型不定式的处理。

题目：求 $\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x + 2}{x - 1}\right)^{2x + 1}$。

审题分析：

• 当 $x \to \infty$ 时，$\dfrac{x+2}{x-1} \to 1$，指数 $2x+1 \to \infty$
• 为 $1^\infty$ 型不定式

解题思路：用 $1^\infty$ 型的标准公式 $\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$。

完整步骤：

$\frac{x+2}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$

故 $f(x) - 1 = \dfrac{3}{x-1}$，$g(x) = 2x + 1$

计算指数部分：

$\lim_{x \to \infty} g(x) \cdot [f(x) - 1] = \lim_{x \to \infty} (2x + 1) \cdot \frac{3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3(2x+1)}{x-1}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{6x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 6$

因此：

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{2x+1} = e^6$

方法反思：$1^\infty$ 型的标准处理流程：①将底数写成 $1 + \alpha(x)$ 的形式；②计算 $\alpha(x) \cdot g(x)$ 的极限 $A$；③答案为 $e^A$。关键步骤是将底数凑成 $1 + \alpha(x)$ 的形式，其中 $\alpha(x) \to 0$。

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五、考情分析

• 考查频次：两个重要极限近5年每年至少出现1–2次，是高频考点
• 常见题型：选择题（极限计算）、填空题（求具体极限值）、解答题（与导数、积分结合）
• 分值占比：约占高数部分的5%–8%（5–10分）
• 命题趋势：$1^\infty$ 型极限的计算是近年的高频考点，常与数列极限结合。第一个重要极限常与等价无穷小结合考查。

注：以上考情数据基于大纲与命题规律推测，待真题分析子代理产出《命题权重矩阵》后校准。

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六、易错点提醒

易错点1：混淆 $\dfrac{\sin x}{x}$ 中 $x$ 的单位

• 错误表现：在角度制下计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$
• 错误原因：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ 中 $x$ 必须是弧度制。如果 $x$ 是角度，$\sin x \approx \dfrac{\pi x}{180}$，极限为 $\dfrac{\pi}{180}$
• 正确做法：高等数学中所有三角函数的自变量默认为弧度制

易错点2：第一个重要极限的推广形式中忽略 $\varphi(x) \to 0$ 的条件

• 错误表现：对 $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x}$ 直接用重要极限得 $1$
• 错误原因：$x \to \pi$ 时 $\sin x \to 0$ 但 $x \to \pi \neq 0$，不满足 $\varphi(x) \to 0$ 的条件
• 正确做法：$\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{0}{\pi} = 0$，不是 $1$

易错点3：$1^\infty$ 型极限用错公式

• 错误表现：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x^2}}$ 错误地算成 $e^{\lim \frac{1}{x^2} \cdot x} = e^{\lim \frac{1}{x}} = \infty$，得出 $e^\infty = \infty$
• 错误原因：$e^A$ 公式中 $A$ 可以是 $\pm \infty$，但需要正确判断。$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = \infty$ 不存在（左极限为 $-\infty$，右极限为 $+\infty$），所以极限不存在
• 正确做法：注意区分 $x \to 0^+$ 和 $x \to 0^-$，当指数极限不存在时，原极限也不存在

易错点4：将第二个重要极限误记为 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^x = e$

• 错误表现：混淆指数，写成 $(1 + x)^x$
• 错误原因：正确形式是 $(1 + x)^{\frac{1}{x}} \to e$，指数是 $\dfrac{1}{x}$ 而非 $x$
• 正确做法：记住核心——"$1$ 加无穷小"的"无穷大次方"，指数与底数的无穷小互为倒数

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七、来源标注

• 依据2026考研数学一统考大纲
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）