MATH-PRO-02 事件的关系与运算

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第一章 随机事件和概率
知识单元编号	MATH-PRO-02
前置知识	MATH-PRO-01（随机事件与样本空间）
后续关联	MATH-PRO-03（概率的定义与性质）、MATH-PRO-05（条件概率）
考试地位	核心基础，贯穿整个概率论，必须熟练掌握
难度等级	★★☆☆☆

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二、知识点讲解

1. 事件的关系

设 $A, B$ 为同一试验的两个事件。

（1）包含关系：若事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则称 $B$ 包含 $A$（或 $A$ 含于 $B$），记为 $A \subset B$（或 $B \supset A$）。

$A \subset B \iff \text{若}\;\omega \in A,\;\text{则}\;\omega \in B$

（2）相等关系：若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A = B$。

（3）互斥（互不相容）：若 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，即 $AB = \varnothing$，则称 $A$ 与 $B$ 互斥（互不相容）。

（4）对立（互逆）：若 $A$ 与 $B$ 满足 $AB = \varnothing$ 且 $A \cup B = \Omega$，则称 $A$ 与 $B$ 对立（互逆），记 $B = \bar{A}$。

关键区分：对立一定互斥，互斥不一定对立。对立要求"非此即彼"，互斥只要求"不同时发生"。

2. 事件的运算

（1）并（和）：$A \cup B = \{\omega \mid \omega \in A \;\text{或}\; \omega \in B\}$，表示"$A$ 与 $B$ 至少有一个发生"。

（2）交（积）：$A \cap B = AB = \{\omega \mid \omega \in A \;\text{且}\; \omega \in B\}$，表示"$A$ 与 $B$ 同时发生"。

（3）差：$A - B = A\bar{B} = \{\omega \mid \omega \in A \;\text{且}\; \omega \notin B\}$，表示"$A$ 发生但 $B$ 不发生"。

（4）补（逆）：$\bar{A} = \Omega - A = \{\omega \mid \omega \notin A\}$，表示"$A$ 不发生"。

3. 运算律

交换律： $A \cup B = B \cup A, \quad AB = BA$

结合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \quad (AB)C = A(BC)$

分配律： $A(B \cup C) = AB \cup AC, \quad A \cup (BC) = (A \cup B)(A \cup C)$

德摩根律（对偶律）： $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \quad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$

推广到 $n$ 个事件： $\overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_i} = \bigcap_{i=1}^{n} \bar{A_i}, \quad \overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_i} = \bigcup_{i=1}^{n} \bar{A_i}$

4. 事件运算的完备性

任何复杂事件都可以通过基本事件的并、交、补运算表示。掌握"用已知事件表示复杂事件"是考研的基本功。

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三、记忆辅助

1. 德摩根律口诀："并的补=补的交，交的补=补的并"——"并"变"交"，"交"变"并"，补号外翻内。
2. 对立vs互斥：对立=互斥+穷举（$AB=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$），互斥只要 $AB=\varnothing$。
3. 差的转化：$A - B = A\bar{B} = A - AB$，三种写法等价，灵活选用。
4. 文氏图：遇到复杂运算，先画文氏图（Venn Diagram），直观判断后再用公式验证。

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四、例题精解

【例题1】用已知事件表示复杂事件

题目：设 $A, B, C$ 为三个事件，用 $A, B, C$ 的运算表示下列事件： （1）$A$ 发生而 $B, C$ 都不发生； （2）三个事件中恰好有一个发生。

解答：

第一步：分析事件含义

（1）"$A$ 发生"→含 $A$；"$B, C$ 都不发生"→含 $\bar{B}$ 和 $\bar{C}$。三个条件同时满足。

（2）"恰好一个发生"→三种互斥情况之并：仅 $A$、仅 $B$、仅 $C$。

第二步：写出（1）的表达式

$A\bar{B}\bar{C} = A - B - C = A - (B \cup C)$

验证：$A\bar{B}\bar{C}$ 表示 $A$ 发生且 $B$ 不发生且 $C$ 不发生，正确。

第三步：写出（2）的表达式

恰好一个发生： $A\bar{B}\bar{C} \cup \bar{A}B\bar{C} \cup \bar{A}\bar{B}C$

第四步：验证

三个部分两两互斥（不可能同时"仅A发生"和"仅B发生"），且覆盖了所有"恰好一个发生"的情况，完备且不重 ✓。

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【例题2】德摩根律的应用

题目：设事件 $A$ = "甲产品合格"，$B$ = "乙产品合格"，$C$ = "丙产品合格"。用文字描述事件 $\overline{A \cup B \cup C}$ 的含义。

解答：

第一步：应用德摩根律

$\overline{A \cup B \cup C} = \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$

第二步：翻译为文字

$\bar{A}$ = "甲不合格"，$\bar{B}$ = "乙不合格"，$\bar{C}$ = "丙不合格"。

第三步：交的含义

$\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$ 表示三个条件同时成立，即"甲、乙、丙都不合格"。

第四步：验证合理性

$A \cup B \cup C$ = "至少有一个合格"，其对立面 = "一个都不合格" = "全不合格" ✓。

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【例题3】事件的分解

题目：证明 $A = AB \cup A\bar{B}$，且 $AB$ 与 $A\bar{B}$ 互斥。

解答：

第一步：证明 $A \subset AB \cup A\bar{B}$

设 $\omega \in A$，则 $\omega$ 要么属于 $B$，要么不属于 $B$。

• 若 $\omega \in B$，则 $\omega \in AB$
• 若 $\omega \notin B$，则 $\omega \in \bar{B}$，故 $\omega \in A\bar{B}$

因此 $\omega \in AB \cup A\bar{B}$，即 $A \subset AB \cup A\bar{B}$。

第二步：证明 $AB \cup A\bar{B} \subset A$

$AB \subset A$，$A\bar{B} \subset A$，故 $AB \cup A\bar{B} \subset A$。

第三步：综合得 $A = AB \cup A\bar{B}$

由第一步和第二步，$A = AB \cup A\bar{B}$ ✓。

第四步：证明互斥

$(AB)(A\bar{B}) = A \cdot B \cdot \bar{B} = A \cdot \varnothing = \varnothing$，故 $AB$ 与 $A\bar{B}$ 互斥 ✓。

这个分解公式是概率计算中常用的技巧：$P(A) = P(AB) + P(A\bar{B})$。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择题	事件关系的判断（互斥、对立）	4分
高频	选择/填空	用事件运算表示复杂事件	4分
偶尔	解答题	德摩根律在概率计算中的应用	—

命题规律：

• "用事件运算表示给定事件"几乎每年都有涉及。
• 互斥与对立的区别是经典陷阱。
• 德摩根律在全概率公式、贝叶斯公式中频繁使用。

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六、易错点

1. 混淆"互斥"与"对立"：对立一定互斥，互斥不一定对立。$A$ 与 $B$ 对立还需 $A \cup B = \Omega$。

2. 德摩根律符号搞反：$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$（不是 $\bar{A} \cup \bar{B}$）。口诀：并变交，交变并。

3. 差运算的优先级：$A - B - C = A\bar{B}\bar{C}$，不是 $A - (B - C)$。为避免歧义，建议写成 $A\bar{B}\bar{C}$ 或加括号。

4. "至少有一个"的对立是"一个都没有"：$\overline{A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n} = \bar{A_1}\bar{A_2}\cdots\bar{A_n}$。正面复杂时，考虑对立事件。

5. 无限运算的德摩根律：对可列无穷多个事件同样成立：$\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i} = \bigcap_{i=1}^{\infty} \bar{A_i}$。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第1章 §1.2
大纲	考研数学一大纲"事件的关系与运算"
重点	德摩根律、事件分解公式为高频考点