MATH-PRO-20 方差与标准差

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第四章 随机变量的数字特征
知识单元编号	MATH-PRO-20
前置知识	MATH-PRO-19（数学期望）
后续关联	MATH-PRO-21（协方差）、MATH-PRO-23（大数定律）
考试地位	每年必考，与期望同等重要
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 方差的定义

定义：设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)$ 存在，若 $E[X - E(X)]^2$ 存在，则

$\boxed{D(X) = E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2}$

称为 $X$ 的方差（Variance）。$\sqrt{D(X)}$ 称为标准差。

计算公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$——"平方的期望减期望的平方"。

2. 方差的性质

性质	公式	条件
非负性	$D(X) \geq 0$	—
常数方差	$D(c) = 0$	$c$ 为常数
线性变换	$D(aX+b) = a^2 D(X)$	$a,b$ 为常数
独立可加	$D(X+Y) = D(X)+D(Y)$	$X,Y$ 独立
一般加法	$D(X \pm Y) = D(X)+D(Y) \mp 2\text{Cov}(X,Y)$	—

注意：$D(aX+b) = a^2 D(X)$，不是 $aD(X)$！方差前的系数是平方。

3. 常见分布的方差

分布	$E(X)$	$D(X)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

4. 切比雪夫不等式

设 $E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$，则对任意 $\varepsilon > 0$：

$\boxed{P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}}$

等价形式：$P(|X - \mu| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

意义：方差越小，$X$ 偏离期望的概率越小。不需知道分布的具体形式！

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三、记忆辅助

1. 方差公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$——"平方的期望减期望的平方"。
2. 线性变换：$D(aX+b) = a^2 D(X)$——加常数不影响方差，系数要平方。
3. 独立可加：$D(X+Y) = D(X)+D(Y)$——独立时方差可加（不是期望可加，期望无条件可加）。
4. 切比雪夫不等式：$P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/\varepsilon^2$——"偏离越远，概率越小"。

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四、例题精解

【例题1】求方差

题目：设 $X \sim P(3)$（泊松分布），求 $D(X)$ 和 $D(2X+1)$。

解答：

第一步：泊松分布的方差

$D(X) = \lambda = 3$。

第二步：$D(2X+1)$

$D(2X+1) = 2^2 \cdot D(X) = 4 \times 3 = 12$

第三步：验证

$E(X) = 3$，$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 3 + 9 = 12$。 $E(2X+1) = 2\times3+1 = 7$。 $E[(2X+1)^2] = E(4X^2+4X+1) = 4\times12+4\times3+1 = 48+12+1 = 61$。 $D(2X+1) = 61 - 49 = 12$ ✓

第四步：结论

$D(X) = 3$，$D(2X+1) = 12$。

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【例题2】切比雪夫不等式应用

题目：设 $E(X) = 5$，$D(X) = 4$，利用切比雪夫不等式估计 $P(|X-5| \geq 3)$ 的上界。

解答：

第一步：识别参数

$\mu = 5$，$\sigma^2 = 4$，$\varepsilon = 3$。

第二步：代入切比雪夫不等式

$P(|X-5| \geq 3) \leq \frac{4}{9}$

第三步：解释

$X$ 偏离期望5超过3的概率不超过 $\frac{4}{9} \approx 0.444$。

第四步：补充

切比雪夫不等式给出的是上界，实际概率通常远小于此。如 $X \sim N(5, 4)$，则 $P(|X-5| \geq 3) = P(|Z| \geq 1.5) = 2(1-\Phi(1.5)) \approx 0.134$，远小于 $\frac{4}{9}$。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	计算	求方差	4-10分
高频	选择题	方差性质的应用	4分
中频	证明/计算	切比雪夫不等式	10分

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六、易错点

1. $D(aX+b) = a^2 D(X)$，不是 $aD(X)$：常数 $b$ 不影响方差，系数 $a$ 要平方。
2. $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$ 需要独立：不独立时 $D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$。
3. 方差为0 $\iff$ $X$ 几乎处处为常数：$D(X)=0$ 不能推出 $X=c$，而是 $P(X=c)=1$。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第4章 §4.2-4.3
大纲	考研数学一大纲"方差、切比雪夫不等式"