数学一

高等数学

二阶常系数非齐次线性微分方程

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一、定位信息

项目	内容
编号	MATH-CAL-56
章节	第八章 · 常微分方程 · 第5单元
知识层级	核心重点
考试频率	★★★★★（高频大题考点，是整章的综合应用核心）
关联单元	MATH-CAL-55（齐次方程通解）、MATH-CAL-53（一阶线性方程）

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二、知识点讲解

2.1 非齐次方程的通解结构

定理（通解结构定理）：二阶常系数非齐次线性方程

$y'' + py' + qy = f(x)$

的通解为：

$\boxed{y = Y(x) + y^*(x)}$

其中 $Y(x)$ 是对应齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的通解，$y^*(x)$ 是非齐次方程的一个特解。

证明思路：

1. 设 $y^*$ 是非齐次方程的一个特解，即 $(y^*)'' + p(y^*)' + qy^* = f(x)$。

2. 设 $\tilde{y}$ 是非齐次方程的任意解，令 $z = \tilde{y} - y^*$，则：

$z'' + pz' + qz = (\tilde{y}'' + p\tilde{y}' + q\tilde{y}) - ((y^*)'' + p(y^*)' + qy^*) = f(x) - f(x) = 0$

3. 故 $z$ 是齐次方程的解，即 $z = Y(x)$，从而 $\tilde{y} = Y + y^*$。

因此，求非齐次方程通解的关键步骤为：

• 第一步：求齐次方程通解 $Y(x)$（用特征方程法）
• 第二步：求非齐次方程的一个特解 $y^*(x)$（用待定系数法）

2.2 待定系数法（比较系数法）

当 $f(x)$ 为某些特殊形式时，可以预设特解的形式，代入方程后确定系数。

类型一：$f(x) = e^{\lambda x}P_m(x)$ 型

其中 $P_m(x)$ 是 $m$ 次多项式。

特解形式：

$\boxed{y^* = x^k e^{\lambda x} Q_m(x)}$

其中 $Q_m(x)$ 是 $m$ 次待定多项式（含 $m+1$ 个待定系数），$k$ 的取值为：

$k = \begin{cases} 0, & \lambda \text{ 不是特征根} \\ 1, & \lambda \text{ 是单特征根} \\ 2, & \lambda \text{ 是重特征根} \end{cases}$

判定规则表：

$\lambda$ 与特征根的关系	$k$ 值	特解形式
$\lambda$ 不是特征根	$0$	$y^* = e^{\lambda x}Q_m(x)$
$\lambda$ 是单特征根	$1$	$y^* = xe^{\lambda x}Q_m(x)$
$\lambda$ 是重特征根	$2$	$y^* = x^2 e^{\lambda x}Q_m(x)$

类型二：$f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x]$ 型

其中 $P_l(x)$ 是 $l$ 次多项式，$P_n(x)$ 是 $n$ 次多项式。

特解形式：

$\boxed{y^* = x^k e^{\alpha x}[R_m(x)\cos\beta x + S_m(x)\sin\beta x]}$

其中 $m = \max(l, n)$，$R_m(x)$ 和 $S_m(x)$ 是 $m$ 次待定多项式，$k$ 的取值为：

$k = \begin{cases} 0, & \alpha + \beta i \text{ 不是特征根} \\ 1, & \alpha + \beta i \text{ 是特征根} \end{cases}$

注意：这里判别的不是实数，而是复数 $\alpha + \beta i$ 是否为特征方程的根。

2.3 待定系数法的完整流程

1. 求齐次通解 $Y(x)$：列特征方程，求特征根，写出 $Y$。
2. 判断 $f(x)$ 的类型：是类型一还是类型二。
3. 确定 $k$ 值：检查 $\lambda$（或 $\alpha + \beta i$）是否为特征根。
4. 预设特解形式 $y^*$：按规则写出含待定系数的形式。
5. 代入原方程：将 $y^*$、$(y^*)'$、$(y^*)''$ 代入 $y'' + py' + qy = f(x)$。
6. 比较系数：令等式两边同类项系数相等，列方程组求待定系数。
7. 写出通解 $y = Y + y^*$。

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三、记忆辅助

1. 口诀"齐次通解加特解"：非齐次方程通解 = 齐次通解 + 一个特解，这是结构定理的核心。

2. $k$ 值口诀"不是根取0，单根取1，重根取2"：$x^k$ 中 $k$ 的含义是"特征根重复度"——$\lambda$ 不是根时不需要 $x$ 因子，是单根时多乘一个 $x$，是重根时多乘 $x^2$。

3. 三角函数型特解口诀"$\cos$ 和 $\sin$ 都要写"：即使 $f(x)$ 只含 $\cos$ 或只含 $\sin$，特解中 $\cos$ 和 $\sin$ 必须同时出现，缺一不可。

4. 多项式次数保持不变：$f(x)$ 中 $P_m(x)$ 是 $m$ 次，则 $Q_m(x)$ 也取 $m$ 次，不升不降。

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四、例题精解

例题1：指数多项式型

题目：求微分方程 $y'' - 3y' + 2y = xe^{2x}$ 的通解。

第一步：求齐次通解

特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，$(r-1)(r-2) = 0$，$r_1 = 1$，$r_2 = 2$。

齐次通解：$Y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。

第二步：判断特解形式

$f(x) = xe^{2x} = e^{2x} \cdot x$，属于类型一，$\lambda = 2$，$P_m(x) = x$（$m = 1$）。

$\lambda = 2$ 是单特征根（$r_2 = 2$），故 $k = 1$。

特解形式：$y^* = x \cdot e^{2x}(Ax + B) = e^{2x}(Ax^2 + Bx)$。

第三步：代入方程求系数

$y^* = e^{2x}(Ax^2 + Bx)$

$(y^*)' = 2e^{2x}(Ax^2 + Bx) + e^{2x}(2Ax + B) = e^{2x}(2Ax^2 + (2A+2B)x + B)$

$(y^*)'' = 2e^{2x}(2Ax^2 + (2A+2B)x + B) + e^{2x}(4Ax + 2A+2B)$$= e^{2x}(4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B))$

代入 $y'' - 3y' + 2y$：

$e^{2x}[4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B)] - 3e^{2x}[2Ax^2 + (2A+2B)x + B] + 2e^{2x}[Ax^2 + Bx]$

$x^2$ 项：$4A - 6A + 2A = 0$ ✓（恒为零，这是 $k$ 值选择正确的标志）

$x$ 项：$(8A+4B) - 3(2A+2B) + 2B = 8A + 4B - 6A - 6B + 2B = 2A$

常数项：$(2A+4B) - 3B = 2A + B$

令 $2A = 1$（$x$ 的系数），$2A + B = 0$（常数项）：

$A = \dfrac{1}{2}$，$B = -1$。

第四步：写出通解

$\boxed{y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + e^{2x}\left(\frac{x^2}{2} - x\right)}$

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例题2：三角函数型

题目：求微分方程 $y'' + y = \cos x$ 的通解。

第一步：求齐次通解

特征方程 $r^2 + 1 = 0$，$r = \pm i$。

$\alpha = 0$，$\beta = 1$。齐次通解：$Y = C_1\cos x + C_2\sin x$。

第二步：判断特解形式

$f(x) = \cos x = e^{0 \cdot x}[\cos x + 0 \cdot \sin x]$，属于类型二，$\alpha = 0$，$\beta = 1$。

检查 $\alpha + \beta i = i$ 是否为特征根：$r = \pm i$，$i$ 是特征根，故 $k = 1$。

$m = \max(0, 0) = 0$（$P_l$ 和 $P_n$ 都是零次多项式，即常数）。

特解形式：$y^* = x \cdot e^{0}[A\cos x + B\sin x] = x(A\cos x + B\sin x)$。

第三步：代入方程求系数

$y^* = Ax\cos x + Bx\sin x$

$(y^*)' = A\cos x - Ax\sin x + B\sin x + Bx\cos x$$= (A + Bx)\cos x + (B - Ax)\sin x$

$(y^*)'' = B\cos x - (A+Bx)\sin x - A\sin x + (B-Ax)\cos x$$= (2B - Ax)\cos x + (-2A - Bx)\sin x$

代入 $y'' + y$：

$[(2B - Ax)\cos x + (-2A - Bx)\sin x] + [Ax\cos x + Bx\sin x]$

$= 2B\cos x - 2A\sin x$

令 $2B = 1$，$-2A = 0$：$B = \dfrac{1}{2}$，$A = 0$。

第四步：写出通解

$\boxed{y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{x}{2}\sin x}$

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五、考情分析

考查维度	说明
题型分布	解答题（完整求通解，10-12分）、填空题（特解形式判断，4分）
分值	4-12分，是常微分方程部分的分值大户
难度	★★★ 至 ★★★★
命题趋势	类型一（指数多项式型）考查频率最高；类型二（三角函数型）难度较大但也是必考内容；近年有将两个类型合并考查的趋势（如 $f(x) = e^x\sin x$ 形式）
核心要求	待定系数法必须熟练，计算要准确；$k$ 值的判断是关键

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六、易错点

1. $k$ 值判断错误：必须先求出齐次方程的特征根，再判断 $\lambda$（或 $\alpha + \beta i$）是否为特征根。常见错误是忘记检查或检查不完整。

2. 三角函数型特解漏写 $\cos$ 或 $\sin$：即使 $f(x)$ 只含 $\cos x$，特解中也必须同时包含 $\cos x$ 和 $\sin x$。因为代入方程后，$\cos x$ 的导数会产生 $\sin x$，反之亦然。

3. 多项式次数不匹配：$f(x) = x^2 e^x$ 中 $P_m(x) = x^2$（$m=2$），特解中 $Q_m(x)$ 也必须取到二次：$Q_2(x) = Ax^2 + Bx + C$（三个待定系数），不能只取 $Ax + B$。

4. 代入计算错误：待定系数法的核心是代入方程后比较系数，这一步计算量大，容易出错。建议将 $(y^*)'$、$(y^*)''$ 逐项仔细计算后再合并。

5. 忘记加齐次通解：最终通解必须是 $y = Y + y^*$，不能只写特解 $y^*$。

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七、来源标注

来源	说明
教材	同济大学《高等数学》第七版 第七章 §7.8
考试大纲	2025年全国硕士研究生入学考试数学一考试大纲 · 高等数学 · 二阶常系数非齐次线性微分方程
补充	待定系数法是大纲明确要求掌握的核心方法