数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-33：多元函数的极限与连续

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：一元函数极限与连续的概念（MATH-CAL-05 至 MATH-CAL-07）、二元函数的定义（定义在平面区域上的函数 $z = f(x,y)$）。
• 知识网络定位：本单元是多元函数微分学的起点，上承一元函数极限理论，下启偏导数、全微分等核心概念。多元函数极限的复杂性是后续许多问题的根源。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。多元函数极限的存在性判定是选择题常客。

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二、知识点讲解

2.1 多元函数极限的定义

设函数 $f(P) = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某去心邻域内有定义。若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时，有 $|f(x,y) - A| < \varepsilon$，则称 $A$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处的极限，记为：

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$

与一元函数极限的关键区别：$(x,y) \to (x_0,y_0)$ 意味着点 $P$ 以任意方式趋近 $P_0$（沿直线、曲线、任意路径），而一元函数只有从左、右两个方向。这使得多元函数极限的判定更困难——要证明极限存在，必须对所有路径一致；要证明极限不存在，只需找到两条不同路径得到不同极限值。

2.2 多元函数极限的计算方法

方法一：直接代入法 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续（初等函数在定义域内连续），则

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)$

方法二：夹逼准则 若 $g(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y)$，且 $\lim g = \lim h = A$，则 $\lim f = A$。

常用不等式：$|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$，$|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$。

方法三：变量替换 令 $x = x_0 + r\cos\theta$，$y = y_0 + r\sin\theta$，转化为 $r \to 0$ 的极限。若结果与 $\theta$ 无关，则极限存在。

方法四：路径法（证明极限不存在） 取不同路径趋近，若极限值不同，则极限不存在。

2.3 多元函数的连续性

$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续需同时满足：

1. $f(x_0,y_0)$ 有定义
2. $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)$ 存在
3. $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$

重要性质：

• 多元初等函数在其定义域内连续
• 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值（最值定理）
• 有界闭区域上的连续函数能取到最大值与最小值之间的一切值（介值定理）

2.4 一元与多元函数极限对比

对比项	一元函数	多元函数
趋近方式	左趋近、右趋近（两种）	任意路径趋近（无穷多种）
极限存在条件	左极限 = 右极限	所有路径极限相同
证明不存在	找两个方向极限不同	找两条路径极限不同
连续性	初等函数在定义域内连续	同左
复合函数极限	有严格定理保证	条件更复杂

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三、记忆与理解辅助

1. 多元极限不存在的判别技巧：取路径 $y = kx$（直线族），若极限与 $k$ 有关，则极限不存在。若 $y = kx$ 得到的结果都相同，再试 $y = kx^2$ 等曲线路径。

2. 常用放缩不等式：

   • $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$（均值不等式）
   • $|\sin\theta| \leq 1$，$|\cos\theta| \leq 1$
   • $\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| \leq |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \leq |y|$

3. 连续与可微的关系链（多元函数版本）：

   • 连续 $\not\Rightarrow$ 偏导数存在
   • 偏导数存在 $\not\Rightarrow$ 连续
   • 偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微
   • 可微 $\Rightarrow$ 连续，可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在

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四、例题与精解

例题 1（基础巩固）

命题意图：考查多元函数极限的计算，利用夹逼准则。

求极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$。

审题分析：$(0,0)$ 处分子分母都趋于零，为 $\frac{0}{0}$ 型。直接代入不行，考虑夹逼准则或极坐标变换。

解题思路：利用不等式放缩，将函数夹在两个趋于零的函数之间。

完整步骤：

方法一（夹逼准则）：

由 $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$，得 $|y| \leq \frac{x^2+y^2}{2|x|}$（$x \neq 0$ 时），但此路较绕。

更直接地：

$\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| = \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot |y| \leq 1 \cdot |y| = |y|$

因为 $\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$。

当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$|y| \to 0$，由夹逼准则：

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0$

方法二（极坐标）：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$：

$\frac{x^2 y}{x^2+y^2} = \frac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta$

当 $r \to 0$ 时，$|r\cos^2\theta\sin\theta| \leq r \to 0$，与 $\theta$ 无关，极限为 $0$。

方法反思：夹逼准则的关键是找到合适的上界。极坐标法是通用方法，但要注意结果必须与 $\theta$ 无关才能说明极限存在。

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例题 2（中等提升）

命题意图：考查多元函数极限不存在的证明方法。

证明极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在。

审题分析：需要找两条不同路径，使极限值不同。

解题思路：取路径 $y = kx$，看极限是否与 $k$ 有关。

完整步骤：

沿路径 $y = kx$（$k$ 为常数），当 $x \to 0$ 时：

$\frac{xy}{x^2+y^2} = \frac{x \cdot kx}{x^2 + k^2x^2} = \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}$

当 $k = 0$ 时（沿 $x$ 轴），极限为 $0$。 当 $k = 1$ 时（沿 $y = x$），极限为 $\frac{1}{2}$。

两条路径得到不同的极限值，因此原极限不存在。

方法反思：证明多元函数极限不存在的标准方法就是取不同路径得到不同极限值。优先尝试 $y = kx$（不同斜率的直线），若不行再试 $y = kx^2$、$x = ky^2$ 等曲线路径。但注意：取有限条路径极限相同不能证明极限存在。

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五、考情分析

• 考查频次：近五年出现约 2–3 次，以选择题为主。
• 常见题型：选择题（判断极限是否存在）、填空题（计算极限）。
• 分值占比：约 4 分。
• 命题趋势：常与偏导数存在性、可微性结合考查，形成"多元函数分析"综合选择题。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：沿 $y = kx$ 取极限得到与 $k$ 无关的结果，就断定极限存在。

   • 错误原因：有限条路径不能穷尽所有趋近方式。
   • 正确理解/做法：沿直线取极限相同只是必要条件，不是充分条件。还需考虑曲线路径，或用夹逼准则/极坐标法严格证明。

2. 错误表现：认为"偏导数存在 → 连续"。

   • 错误原因：受一元函数"可导 → 连续"的影响。
   • 正确理解/做法：多元函数中，偏导数存在不能保证连续。经典反例：$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$，在 $(0,0)$ 处两个偏导数都存在（都为 $0$），但不连续。

3. 错误表现：计算极限时忽略定义域的限制。

   • 错误原因：对多元函数定义域的复杂性认识不足。
   • 正确理解/做法：先确定函数在极限点附近是否有定义，再考虑极限。例如 $\ln(x^2+y^2-1)$ 在单位圆内无定义。

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七、来源标注

• 依据 2026 考研数学一大纲"多元函数微分学"部分
• 依据大学本科经典教材《高等数学》（同济大学第七版）第九章