MATH-CAL-04 极限的计算方法（四则运算、夹逼准则）

数学一

高等数学

极限的计算方法（四则运算、夹逼准则）

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一、定位信息

• 圈层：核心层
• 前置知识回顾：需掌握极限的定义与性质（MATH-CAL-03），函数的四则运算，因式分解，有理化方法，以及基本不等式 $|\sin x| \leq |x|$ 等。
• 知识网络定位：极限计算是微积分的基本功，贯穿求导、积分、级数等所有章节。本单元介绍最基础的计算方法——四则运算法则和夹逼准则，后续单元将补充两个重要极限、等价无穷小、洛必达法则等更高级的工具。
• 考点热度等级：H级（高频重点）——极限计算是每年必考内容，几乎出现在所有题型中，是考研数学的基本功。

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二、知识点讲解

2.1 极限的四则运算法则

定理：设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

$\lim[f(x) + g(x)] = A + B$

$\lim[f(x) - g(x)] = A - B$

$\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

证明思路（以加法为例）：对 $\forall \varepsilon > 0$，由 $\lim f(x) = A$，$\exists \delta_1 > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时 $|f(x) - A| < \dfrac{\varepsilon}{2}$；由 $\lim g(x) = B$，$\exists \delta_2 > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时 $|g(x) - B| < \dfrac{\varepsilon}{2}$。取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：

$|[f(x)+g(x)] - (A+B)| \leq |f(x)-A| + |g(x)-B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

重要推论：

• $\lim[cf(x)] = c \cdot \lim f(x)$（常数因子可提出）
• $\lim[f(x)]^n = [\lim f(x)]^n$（正整数次幂）
• 四则运算的前提是各极限都存在

适用限制：四则运算仅在各极限都存在时才能使用。以下情况不能直接使用：

• $\infty - \infty$ 型（不定式）
• $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型（不定式）
• $\dfrac{0}{0}$ 型（不定式）
• $0 \cdot \infty$ 型（不定式）

2.2 夹逼准则（迫敛定理）

定理（数列形式）：若存在 $N_0$，当 $n > N_0$ 时，$a_n \leq b_n \leq c_n$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = A$。

定理（函数形式）：若在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $|x| > X$ 时），$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则 $\lim f(x) = A$。

证明思路（数列形式）：对 $\forall \varepsilon > 0$，由 $\lim a_n = \lim c_n = A$，$\exists N$，当 $n > N$ 时 $|a_n - A| < \varepsilon$ 且 $|c_n - A| < \varepsilon$，即 $A - \varepsilon < a_n < A + \varepsilon$ 且 $A - \varepsilon < c_n < A + \varepsilon$。又 $a_n \leq b_n \leq c_n$，故 $A - \varepsilon < b_n < A + \varepsilon$，即 $|b_n - A| < \varepsilon$。

使用要点：

1. 夹逼准则的关键在于构造合适的上下界 $a_n$ 和 $c_n$
2. 上下界的极限必须存在且相等
3. 常见的夹逼场景：含有 $\sin$、$\cos$、$(-1)^n$ 等振荡因子时

2.3 $\dfrac{0}{0}$ 型与 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型的处理方法

对于不能直接用四则运算的不定式，常用以下方法：

（1）因式分解法（适用于 $\dfrac{0}{0}$ 型，分子分母有公因子）

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{(x-a) \cdot p(x)}{(x-a) \cdot q(x)} = \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)}$

（2）有理化法（适用于含根号的 $\dfrac{0}{0}$ 型）

对分子或分母进行有理化，消去零因子。

（3）抓大头法（适用于 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型的有理分式）

$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m}, & n = m \\ 0, & n < m \\ \infty, & n > m \end{cases}$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：极限计算的"定型"口诀 先看极限类型：直接代入试一试——

• 代入得常数 → 直接用四则运算
• 代入得 $\dfrac{0}{0}$ → 因式分解/有理化/等价无穷小/洛必达
• 代入得 $\dfrac{\infty}{\infty}$ → 抓大头/洛必达
• 代入得 $\infty - \infty$ → 通分/有理化
• 代入得 $0 \cdot \infty$ → 取倒数变成 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$

技巧2：夹逼准则的构造思路 遇到含 $n$ 项求和或含振荡因子的极限，夹逼准则往往是首选。构造上下界的常用技巧：

• $-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|$（利用绝对值）
• $\sin x, \cos x$ 的有界性：$|\sin x| \leq 1$，$|\cos x| \leq 1$
• 放缩分母：$\dfrac{1}{n+k} \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{n-k}$（$k$ 固定，$n$ 充分大）

技巧3：极限计算方法对比表

方法	适用类型	优点	局限
四则运算	各极限均存在	简单直接	不适用于不定式
因式分解	$\dfrac{0}{0}$（多项式）	精确、无近似	仅适用于有理式或可分解式
有理化	$\dfrac{0}{0}$（含根号）	消去零因子	仅适用于含根号
抓大头	$\dfrac{\infty}{\infty}$（有理分式）	快速	仅适用于多项式分式
夹逼准则	含振荡因子、n项和	灵活	构造上下界需要技巧

技巧4：四则运算的"前提检查" 使用四则运算法则前，必须确认各极限都存在。常见错误：对 $\infty - \infty$ 型直接拆成 $\infty - \infty$。$\infty$ 不是一个数，四则运算不能直接用。

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查用因式分解法处理 $\dfrac{0}{0}$ 型极限。

题目：求 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$。

审题分析：

• 代入 $x = 2$：分子 $= 4 - 4 = 0$，分母 $= 4 - 10 + 6 = 0$
• 类型为 $\dfrac{0}{0}$，需消去零因子

解题思路：分子分母分别因式分解，约去公因子 $(x - 2)$。

完整步骤：

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}$

因为 $x \to 2$ 但 $x \neq 2$，可以约去 $(x-2)$：

$= \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-3} = \frac{2+2}{2-3} = \frac{4}{-1} = -4$

方法反思：$\dfrac{0}{0}$ 型的因式分解法核心是找到并约去使分子分母同时为零的因子。对于多项式，可用因式定理：$x = a$ 是 $P(x) = 0$ 的根 $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ 是 $P(x)$ 的因子。

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例题2（中等提升）

命题意图：考查用夹逼准则求数列极限。

题目：求 $\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}\right)$。

审题分析：

• 这是 $n$ 项求和，每一项都趋于0，但项数趋于无穷
• 不能直接用四则运算（无穷多项不能逐项取极限）
• 考虑用夹逼准则

解题思路：对每一项 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$（$k = 1, 2, \ldots, n$），用分母的放缩构造上下界。

完整步骤：

设 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$

构造上界：对 $k = 1, 2, \ldots, n$，有 $n^2 + k \geq n^2 + 1$，故 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$

$S_n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$

构造下界：对 $k = 1, 2, \ldots, n$，有 $n^2 + k \leq n^2 + n$，故 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$

$S_n \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}$

计算上下界的极限：

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1$

应用夹逼准则：

由 $\dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq S_n \leq \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$，且两端极限均为 $1$，故：

$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$

方法反思：$n$ 项求和的极限，常用夹逼准则。关键技巧是找到每一项的上下界，使得求和后可以化为 $n \cdot$（单个项的界），从而将问题转化为简单的分式极限。本题中，用分母的最大值和最小值分别构造下界和上界。

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五、考情分析

• 考查频次：极限计算方法每年必考，四则运算和夹逼准则近5年出现约6–8次
• 常见题型：选择题（极限计算、判断极限存在性）、填空题（求具体极限值）、解答题（证明极限或综合计算）
• 分值占比：约占高数部分的8%–12%（10–15分）
• 命题趋势：夹逼准则的灵活运用是近年热点，特别是 $n$ 项求和的极限。四则运算是基础中的基础，但单独考查较少，通常与其他方法结合。

注：以上考情数据基于大纲与命题规律推测，待真题分析子代理产出《命题权重矩阵》后校准。

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六、易错点提醒

易错点1：对不定式直接使用四则运算

• 错误表现：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ 直接写成 $\dfrac{\lim \sin x}{\lim x} = \dfrac{0}{0}$
• 错误原因：$\dfrac{0}{0}$ 是不定式，不等于一个数，不能直接用四则运算
• 正确做法：遇到不定式，先用其他方法（因式分解、有理化、等价无穷小、洛必达等）化简后再用四则运算

易错点2：夹逼准则放缩方向搞反

• 错误表现：构造的"上界"实际上比原式更小，或"下界"比原式更大
• 错误原因：放缩时忽略了不等式方向
• 正确做法：放缩后检验——上界必须 $\geq$ 原式，下界必须 $\leq$ 原式。建议用具体数值（如 $n = 1, 2$）验证

易错点3：$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型有理分式的"抓大头"用错

• 错误表现：$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + x}{x^3 + 1}$ 错误地得到 $\dfrac{1}{1} = 1$
• 错误原因：没有比较分子分母的最高次幂
• 正确做法：比较最高次幂——分子最高次为 $x^2$，分母最高次为 $x^3$，$2 < 3$，极限为 $0$

易错点4：夹逼准则的上下界极限不存在

• 错误表现：构造的上下界极限不相等或不存在，仍声称用夹逼准则得出结论
• 错误原因：夹逼准则要求上下界的极限都存在且相等
• 正确做法：如果上下界极限不相等，说明放缩不够精确，需要重新构造更紧的界

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七、来源标注

• 依据2026考研数学一统考大纲
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）