数学一

线性代数

初等变换与初等矩阵

定位信息

• 章节：第二章 矩阵 §2.4
• 编号：MATH-LIN-06
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：高频考点，几乎每年涉及

---

一、知识点讲解

6.1 初等行（列）变换

三种初等行变换：

1. 互换：交换第 $i$ 行与第 $j$ 行，记 $r_i \leftrightarrow r_j$
2. 倍乘：第 $i$ 行乘以非零常数 $k$，记 $kr_i$
3. 倍加：第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行，记 $r_j + kr_i$

列变换类似，记号为 $c_i \leftrightarrow c_j$，$kc_i$，$c_j + kc_i$。

6.2 初等矩阵

对单位矩阵 $E$ 施加一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。

变换类型	初等矩阵	记号
互换 $i,j$ 行	$E$ 的第 $i,j$ 行互换	$E_{ij}$
第 $i$ 行乘 $k$	$E$ 的第 $i$ 行乘 $k$	$E_i(k)$
第 $j$ 行加第 $i$ 行的 $k$ 倍	$E$ 的 $(j,i)$ 位置变为 $k$	$E_{ij}(k)$

初等矩阵的行列式：

• $|E_{ij}| = -1$
• $|E_i(k)| = k$
• $|E_{ij}(k)| = 1$

初等矩阵的逆：

• $E_{ij}^{-1} = E_{ij}$
• $E_i(k)^{-1} = E_i(\frac{1}{k})$
• $E_{ij}(k)^{-1} = E_{ij}(-k)$

6.3 初等矩阵与初等变换的关系（核心定理）

左乘行变换，右乘列变换：

• 对 $A$ 施加一次初等行变换 $\Leftrightarrow$ 左乘相应的初等矩阵
• 对 $A$ 施加一次初等列变换 $\Leftrightarrow$ 右乘相应的初等矩阵

即：初等行变换 $r_i \leftrightarrow r_j$ 对 $A$ 的效果 $= E_{ij}A$。

6.4 矩阵的等价

若 $A$ 经有限次初等变换化为 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记 $A \cong B$。

等价的充要条件：存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $PAQ = B$。

标准形：任何 $m \times n$ 矩阵 $A$ 都等价于 $\begin{pmatrix} E_r & O \ O & O \end{pmatrix}$，其中 $r = r(A)$。

6.5 用初等行变换求逆矩阵

$(A|E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E|A^{-1})$

原理：若 $P_k \cdots P_1 A = E$，则 $P_k \cdots P_1 = A^{-1}$，同时 $P_k \cdots P_1 E = A^{-1}$。

---

二、记忆辅助

1. "左行右列"：初等矩阵左乘做行变换，右乘做列变换 —— 四字口诀牢记
2. 初等矩阵的逆：互换的逆是自己，倍乘的逆是取倒数，倍加的逆是变号 —— "换不变，乘取倒，加变号"
3. 等价标准形：$\begin{pmatrix} E_r & O \ O & O \end{pmatrix}$ —— 秩为 $r$ 的矩阵的标准形只有 $E_r$，其余全为零

---

三、例题精解

例1：初等矩阵的运算

题目：设 $P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。

求 $P_1 P_2 A$。

第一步：审题与分析$P_1$ 是 $E_{12}$（交换第1、2行），$P_2$ 是 $E_{31}(2)$（第3行加第1行的2倍）。左乘 $P_1 P_2$ 即先对 $A$ 做 $P_2$ 对应的行变换，再做 $P_1$ 对应的行变换。

第二步：选择方法 先 $P_2 A$（行变换），再 $P_1 (P_2 A)$。

第三步：完整计算

$P_2 A$：第3行加第1行的2倍： $P_2 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+2a_{11} & a_{32}+2a_{12} & a_{33}+2a_{13} \end{pmatrix}$

$P_1(P_2 A)$：交换第1、2行： $P_1 P_2 A = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31}+2a_{11} & a_{32}+2a_{12} & a_{33}+2a_{13} \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$\boxed{P_1 P_2 A}$ 的结果如上。注意：先执行 $P_2$ 对应的变换（靠近 $A$ 的先执行），再执行 $P_1$ 对应的变换。

---

例2：用初等行变换求逆矩阵

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 \end{pmatrix}$，用初等行变换求 $A^{-1}$。

第一步：审题与分析 二阶矩阵，构造 $(A|E)$ 通过行变换化为 $(E|A^{-1})$。

第二步：选择方法 初等行变换法。

第三步：完整计算

$(A|E) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$r_2 - 3r_1$：

$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$

$r_1 - 2r_2$：

$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$

第四步：验证与总结

$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$

验证：$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-6 & -2+2 \ 21-21 & -6+7 \end{pmatrix} = E$ ✓

---

四、考情分析

• 题型分布：选择题（初等矩阵的识别、等价关系）、解答题（求逆矩阵、矩阵方程）
• 考查重点：初等矩阵与初等变换的对应关系（左行右列）、初等矩阵的逆
• 命题趋势：近年常将初等矩阵与矩阵方程结合考查
• 分值占比：约3-5分

---

五、易错点

1. 左乘右乘方向：行变换是左乘，列变换是右乘，不能搞混。"左行右列"是铁律
2. 执行顺序：$P_1 P_2 A$ 中，$P_2$ 先执行（离 $A$ 近的先执行），$P_1$ 后执行。矩阵乘法从右向左读
3. 初等矩阵的逆：倍加变换 $E_{ij}(k)$ 的逆是 $E_{ij}(-k)$（变号），不是 $E_{ij}(\frac{1}{k})$
4. 等价与相似、合同的区别：等价只需要 $PAQ = B$（$P,Q$ 可逆），相似要求 $P^{-1}AP = B$，合同要求 $P^TAP = B$。三者条件递进加强

---

六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第2章 §2.4-§2.5
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第2章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第3讲