数学一

线性代数

非齐次线性方程组：有解条件与通解

定位信息

• 章节：第四章 线性方程组 §4.3
• 编号：MATH-LIN-16
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：核心高频考点，每年必考

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一、知识点讲解

16.1 非齐次方程组的基本形式

$Ax = b$（$b \neq 0$），增广矩阵 $\bar{A} = (A | b)$。

16.2 有解的判定

定理：$Ax = b$ 有解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\bar{A})$。

情况	条件	解
无解	$r(A) < r(\bar{A})$	—
唯一解	$r(A) = r(\bar{A}) = n$	一个
无穷多解	$r(A) = r(\bar{A}) < n$	无穷多

16.3 非齐次方程组的通解结构

定理：若 $\eta^*$ 是 $Ax = b$ 的一个特解，$\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}$ 是对应齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系，则 $Ax = b$ 的通解为

$\boxed{x = \eta^* + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r}}$

其中 $c_1, \ldots, c_{n-r}$ 为任意常数，$r = r(A)$。

几何理解：通解 = 特解 + 齐次通解。非齐次方程组的解集是齐次解空间的一个"平移"。

16.4 求非齐次方程组通解的步骤

1. 对增广矩阵 $\bar{A}$ 做初等行变换化为行最简形
2. 判断 $r(A)$ 和 $r(\bar{A})$，确定是否有解
3. 若有解，令自由变量全为0求出特解 $\eta^*$
4. 对应齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系 $\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}$
5. 写出通解 $x = \eta^* + c_1\xi_1 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r}$

16.5 非齐次方程组解的性质

• 若 $\eta_1, \eta_2$ 是 $Ax = b$ 的解，则 $\eta_1 - \eta_2$ 是 $Ax = 0$ 的解
• 若 $\eta$ 是 $Ax = b$ 的解，$\xi$ 是 $Ax = 0$ 的解，则 $\eta + \xi$ 是 $Ax = b$ 的解
• $Ax = b$ 的两个解的和一般不是 $Ax = b$ 的解（而是 $Ax = 2b$ 的解）

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二、记忆辅助

1. 通解公式：$x = \eta^* + c_1\xi_1 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r}$ —— "特解 + 齐次通解"
2. 有解条件：$r(A) = r(\bar{A})$ —— "系数矩阵秩 = 增广矩阵秩"
3. 解的性质：非齐次的解之差 = 齐次的解；非齐次的解 + 齐次的解 = 非齐次的解

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三、例题精解

例1：求非齐次方程组的通解

题目：求方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 1 \ 3x_1 - x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 4 \ x_1 + 5x_2 - 9x_3 - 8x_4 = 0 \end{cases}$ 的通解。

第一步：审题与分析$3 \times 4$ 方程组，用增广矩阵行变换。

第二步：选择方法 对 $\bar{A}$ 做行变换。

第三步：完整计算

$\bar{A} = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & -9 & -8 & 0 \end{array}\right)$

$r_2 - 3r_1, r_3 - r_1$：

$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 6 & 7 & 1 \\ 0 & 4 & -6 & -7 & -1 \end{array}\right)$

$r_3 + r_2$：

$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 6 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

$r_2 \div (-4)$：

$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

$r_1 - r_2$：

$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

$r(A) = r(\bar{A}) = 2 < 4$，有无穷多解。自由变量：$x_3, x_4$。

特解：令 $x_3 = 0, x_4 = 0$，得 $\eta^* = (\frac{5}{4}, -\frac{1}{4}, 0, 0)^T$

齐次基础解系： 令 $x_3 = 1, x_4 = 0$：$\xi_1 = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 1, 0)^T$ 令 $x_3 = 0, x_4 = 1$：$\xi_2 = (-\frac{3}{4}, \frac{7}{4}, 0, 1)^T$

第四步：验证与总结

$\boxed{x = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1\begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}}$

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（求通解，几乎每年必考）、选择题（有解条件的判断）
• 考查重点：有解条件、通解结构（特解+齐次通解）、含参数的讨论
• 命题趋势：常与向量的线性表示、秩等知识点综合
• 分值占比：约8-12分

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五、易错点

1. 特解的选取：特解只需取一个，令自由变量为0是最简单的取法。特解不唯一，但通解结构相同
2. 非齐次解的和不是非齐次解：$\eta_1 + \eta_2$ 不是 $Ax = b$ 的解，而是 $Ax = 2b$ 的解
3. 行变换时增广矩阵的常数列不能忘：对 $\bar{A}$ 做行变换时，常数列（$b$ 列）也要参与变换

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第4章 §4.3
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第4章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第7讲