数学一

高等数学

一阶线性微分方程与伯努利方程

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一、定位信息

项目	内容
编号	MATH-CAL-53
章节	第八章 · 常微分方程 · 第2单元
知识层级	核心重点
考试频率	★★★★★（高频考点，公式直接应用或变形考查）
关联单元	MATH-CAL-52（可分离变量）、MATH-CAL-55（二阶常系数齐次）

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二、知识点讲解

2.1 一阶线性微分方程

定义：形如

$\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$

的方程称为一阶线性微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是已知连续函数。

• 当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为齐次的：$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = 0$
• 当 $Q(x) \not\equiv 0$ 时，称为非齐次的

定理（通解公式）：一阶线性微分方程 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的通解为：

$\boxed{y = e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int Q(x)\,e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right]}$

证明思路（常数变易法）：

1. 先求对应齐次方程 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = 0$ 的通解：分离变量得 $\dfrac{dy}{y} = -P(x)\,dx$，积分得 $y = Ce^{-\int P(x)\,dx}$。

2. 将常数 $C$ 变易为函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为 $y = C(x)\,e^{-\int P(x)\,dx}$。

3. 代入原方程：$y' = C'(x)e^{-\int P\,dx} + C(x)\cdot(-P(x))e^{-\int P\,dx}$，代入 $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ 得：

$C'(x)\,e^{-\int P\,dx} = Q(x)$

$C'(x) = Q(x)\,e^{\int P\,dx}$

$C(x) = \int Q(x)\,e^{\int P\,dx}\,dx + C$

4. 代回得通解公式。

记忆要点：公式中 $\int P(x)\,dx$ 不加常数，最终只保留一个任意常数 $C$。

2.2 伯努利方程

定义：形如

$\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^n \quad (n \neq 0, 1)$

的方程称为伯努利方程。

求解方法：

1. 两边同除以 $y^n$（当 $y \neq 0$ 时）：

$y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)\,y^{1-n} = Q(x)$

2. 令 $z = y^{1-n}$，则 $\dfrac{dz}{dx} = (1-n)\,y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$，即 $y^{-n}\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1-n}\dfrac{dz}{dx}$。

3. 代入得：

$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx} + P(x)\,z = Q(x)$

$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)\,z = (1-n)Q(x)$

这是关于 $z$ 的一阶线性方程，用通解公式求解后再将 $z = y^{1-n}$ 代回。

特殊情形：$n = 0$ 时为一阶线性方程；$n = 1$ 时为可分离变量方程。故伯努利方程要求 $n \neq 0, 1$。

2.3 一阶线性方程与伯努利方程的对比

对比项	一阶线性方程	伯努利方程
标准形式	$y' + P(x)y = Q(x)$	$y' + P(x)y = Q(x)y^n$，$n \neq 0,1$
核心方法	常数变易法 / 通解公式	令 $z = y^{1-n}$ 化为线性方程
通解结构	$y = y_h + y_p$（齐次通解+特解）	通过线性方程通解公式得到
可分离变量	$Q(x) = 0$ 的特例	$n = 0$ 退化为线性，$n = 1$ 退化为可分离

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三、记忆辅助

1. 通解公式口诀"积分因子乘两边"：一阶线性方程的积分因子为 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$，方程两边乘以 $\mu(x)$ 后，左边变为 $(\mu y)'$，直接积分得解。

2. 伯努利方程口诀"除以 $y^n$，换 $z = y^{1-n}$"：伯努利方程的求解就两步——先除、再换元。

3. 公式速记卡片：

$\boxed{y = e^{-\int P\,dx}\left(\int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + C\right)}$

记忆技巧：指数上是 $-\int P$（负号！），括号内是 $Q \cdot e^{+\int P}$（正号！）。

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四、例题精解

例题1：一阶线性方程

题目：求微分方程 $xy' + y = x^2$（$x > 0$）满足 $y(1) = 1$ 的特解。

第一步：化为标准形式

两边除以 $x$：

$y' + \frac{1}{x}\,y = x$

这里 $P(x) = \dfrac{1}{x}$，$Q(x) = x$。

第二步：计算积分因子

$\int P(x)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x \quad (x > 0)$

积分因子 $\mu(x) = e^{\ln x} = x$。

第三步：代入通解公式

$y = e^{-\ln x}\left(\int x \cdot e^{\ln x}\,dx + C\right) = \frac{1}{x}\left(\int x \cdot x\,dx + C\right)$

$= \frac{1}{x}\left(\int x^2\,dx + C\right) = \frac{1}{x}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$

第四步：利用初始条件求特解

$y(1) = 1$：$\dfrac{1}{3} + C = 1$，解得 $C = \dfrac{2}{3}$。

特解为：

$\boxed{y = \frac{x^2}{3} + \frac{2}{3x}}$

验证：$y' = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{2}{3x^2}$，$xy' + y = \dfrac{2x^2}{3} - \dfrac{2}{3x} + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{2}{3x} = x^2$。✓

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例题2：伯努利方程

题目：求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{y}{x} = y^2 \ln x$ 的通解。

第一步：识别方程类型

这是伯努利方程，其中 $P(x) = -\dfrac{1}{x}$，$Q(x) = \ln x$，$n = 2$。

第二步：变量替换

两边除以 $y^2$（$y \neq 0$）：

$y^{-2}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}\,y^{-1} = \ln x$

令 $z = y^{1-2} = y^{-1} = \dfrac{1}{y}$，则 $\dfrac{dz}{dx} = -y^{-2}\dfrac{dy}{dx}$，即 $y^{-2}\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{dz}{dx}$。

代入得：

$-\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}\,z = \ln x$

$\frac{dz}{dx} + \frac{1}{x}\,z = -\ln x$

第三步：用一阶线性方程公式求解

$P(x) = \dfrac{1}{x}$，$\int P\,dx = \ln x$，积分因子 $\mu = x$。

$z = \frac{1}{x}\left(\int (-\ln x) \cdot x\,dx + C\right)$

计算 $\int x\ln x\,dx$：用分部积分，令 $u = \ln x$，$dv = x\,dx$：

$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$

所以：

$z = \frac{1}{x}\left(-\frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C\right) = -\frac{x}{2}\ln x + \frac{x}{4} + \frac{C}{x}$

第四步：代回原变量

$z = \dfrac{1}{y}$，故通解为：

$\frac{1}{y} = -\frac{x}{2}\ln x + \frac{x}{4} + \frac{C}{x}$

$\boxed{\frac{1}{y} = \frac{x}{4} - \frac{x}{2}\ln x + \frac{C}{x}}$

另需注意 $y = 0$ 也是原方程的解（常数解）。

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五、考情分析

考查维度	说明
题型分布	填空题（直接套公式）、解答题（作为建模后求解步骤）
分值	填空4-5分；解答题中5-8分
难度	★★☆ 至 ★★★
命题趋势	一阶线性方程公式是"送分点"；伯努利方程偶尔出现但难度不大；近年更倾向于结合物理/几何应用考查"列方程"能力
核心要求	必须熟练背诵通解公式，计算要快且准

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六、易错点

1. 通解公式正负号搞混：指数上是 $-\int P\,dx$（负号），括号内是 $e^{+\int P\,dx}$（正号）。最常犯的错误是指数上的符号写反。

2. 积分因子中多加常数：$\int P(x)\,dx$ 计算时不要加积分常数，因为 $e^{\int P\,dx + C_1} = C_1' e^{\int P\,dx}$，常数因子可以吸收到最终的 $C$ 中。

3. 伯努利方程换元后符号错误：令 $z = y^{1-n}$ 时，$\dfrac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$，注意 $1-n$ 的符号。当 $n > 1$ 时 $1-n < 0$，容易漏掉负号。

4. 忘记检验 $y = 0$：伯努利方程两边除以 $y^n$ 时假设 $y \neq 0$，需单独检验 $y = 0$ 是否为解。

5. 初始条件代入时机：应在求出通解后再代入初始条件，不要在中间步骤代入。

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七、来源标注

来源	说明
教材	同济大学《高等数学》第七版 第七章 §7.3、§7.4
考试大纲	2025年全国硕士研究生入学考试数学一考试大纲 · 高等数学 · 一阶微分方程
补充	常数变易法为大纲要求掌握的推导方法，通解公式需记忆