MATH-PRO-05 条件概率与乘法公式

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第一章 随机事件和概率
知识单元编号	MATH-PRO-05
前置知识	MATH-PRO-01~04
后续关联	MATH-PRO-06（全概率公式与贝叶斯公式）、MATH-PRO-07（独立性）
考试地位	核心概念，承上启下，每年必考
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 条件概率的定义

定义：设 $A, B$ 为两个事件，且 $P(B) > 0$，则在事件 $B$ 已发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率定义为：

$\boxed{P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}}$

直观理解：已知 $B$ 发生，样本空间从 $\Omega$ 缩减为 $B$，事件 $A$ 在新的样本空间中的"占比"。

条件概率满足概率的所有性质（非负性、规范性、可加性），即条件概率也是概率。

2. 条件概率的性质

设 $P(B) > 0$，则：

• $P(A|B) \geq 0$
• $P(\Omega|B) = 1$
• $P(A_1 \cup A_2 | B) = P(A_1|B) + P(A_2|B) - P(A_1A_2|B)$
• $P(\bar{A}|B) = 1 - P(A|B)$

3. 乘法公式

由条件概率定义 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，可得：

$\boxed{P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)}$

推广到三个事件： $P(ABC) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB)$

推广到 $n$ 个事件： $P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1A_2) \cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$

4. 条件概率的计算方法

方法一（定义法）：先求 $P(AB)$ 和 $P(B)$，再代入 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$。

方法二（缩减样本空间法）：在 $B$ 已发生的前提下，直接在缩减后的样本空间中计算 $A$ 的概率。适用于古典概型。

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三、记忆辅助

1. 条件概率公式：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$——"联合除边缘"。
2. 乘法公式：$P(AB) = P(B)P(A|B)$——"条件乘边缘=联合"。
3. 缩减样本空间：已知 $B$ 发生，把 $B$ 当作新的"全集"，在其中看 $A$ 的占比。
4. 链式法则：$P(A_1A_2\cdots A_n)$ = 一连串条件概率的乘积，像"链条"一样逐环相扣。

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四、例题精解

【例题1】条件概率计算

题目：袋中有3个红球和2个白球，不放回地依次取2个球。已知第一个球是红球，求第二个球也是红球的概率。

解答：

第一步：设事件

$A$ = "第二个球是红球"，$B$ = "第一个球是红球"。求 $P(A|B)$。

第二步：方法一——定义法

$P(B) = \frac{C_3^1}{C_5^1} = \frac{3}{5}$

$P(AB)$ = "第一个是红球且第二个也是红球" = 从3红2白中依次取2个红球： $P(AB) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{3/10}{3/5} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{2}$

第三步：方法二——缩减样本空间法

已知第一个球是红球，袋中剩余：2红2白，共4个球。

第二个球是红球的概率 = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

第四步：结论

两种方法结果一致，$P(A|B) = \frac{1}{2}$ ✓。

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【例题2】乘法公式的应用

题目：一批产品共100件，其中5件次品。从中依次不放回地取3件，求3件全是正品的概率。

解答：

第一步：设事件

$A_i$ = "第 $i$ 次取到正品"（$i = 1, 2, 3$）。求 $P(A_1A_2A_3)$。

第二步：用乘法公式

$P(A_1A_2A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1A_2)$

第三步：逐项计算

$P(A_1) = \frac{95}{100}$

$P(A_2|A_1) = \frac{94}{99} \quad \text{（已取走1件正品，剩99件中94件正品）}$

$P(A_3|A_1A_2) = \frac{93}{98} \quad \text{（已取走2件正品，剩98件中93件正品）}$

第四步：计算结果

$P(A_1A_2A_3) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98} = \frac{95 \times 94 \times 93}{100 \times 99 \times 98}$

$= \frac{830490}{970200} \approx 0.856$

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年	选择/填空	条件概率的计算	4分
高频	解答题	乘法公式在不放回抽样中的应用	10分
高频	综合	条件概率与全概率/贝叶斯公式结合	10分

命题规律：

• 条件概率是全概率公式和贝叶斯公式的基础，必须熟练。
• "缩减样本空间法"在古典概型中特别高效。
• 不放回抽样问题几乎都涉及乘法公式。

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六、易错点

1. 混淆 $P(A|B)$ 与 $P(B|A)$：两者完全不同！$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$。

2. 乘法公式与独立性混淆：乘法公式 $P(AB) = P(A)P(B|A)$ 总是成立；$P(AB) = P(A)P(B)$ 仅在 $A, B$ 独立时成立。

3. 条件概率中 $P(B) = 0$ 的情况：当 $P(B) = 0$ 时，$P(A|B)$ 无定义（分母为0）。在连续型随机变量中需注意。

4. 不放回抽样中忘记更新条件：每取走一个，总数和各类数量都要更新。如"已知第一个是红球"后，红球数减1，总数减1。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第1章 §1.6
大纲	考研数学一大纲"条件概率、乘法公式"
重点	条件概率计算、乘法公式为必考内容