MATH-PRO-13 二维离散型随机变量及其分布

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第三章 多维随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-13
前置知识	MATH-PRO-08~12（第二章）
后续关联	MATH-PRO-15（边缘分布与条件分布）
考试地位	二维分布的基础，选择/填空高频
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 二维随机变量

定义：设 $X, Y$ 是定义在同一概率空间上的两个随机变量，则 $(X, Y)$ 称为二维随机变量（或随机向量）。

2. 联合分布律

定义：设 $(X, Y)$ 的所有可能取值为 $(x_i, y_j)$，$i, j = 1, 2, \ldots$，则

$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}$

称为 $(X, Y)$ 的联合分布律。

性质：

1. $p_{ij} \geq 0$
2. $\sum_i \sum_j p_{ij} = 1$

3. 联合分布函数

$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$

性质：

• 对 $x, y$ 分别单调不减
• $F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0$，$F(+\infty, +\infty) = 1$
• 对 $x, y$ 分别右连续
• $P(x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2) = F(x_2,y_2) - F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1)$

4. 联合分布律的表格表示

$X \backslash Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$p_{i\cdot}$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1\cdot}$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2\cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$p_{\cdot j}$	$p_{\cdot 1}$	$p_{\cdot 2}$	$\cdots$	$1$

其中 $p_{i\cdot} = \sum_j p_{ij}$ 为 $X$ 的边缘分布律，$p_{\cdot j} = \sum_i p_{ij}$ 为 $Y$ 的边缘分布律。

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三、记忆辅助

1. 联合分布律：$P(X=x_i, Y=y_j) = p_{ij}$——"二维表格"。
2. 归一性：表格中所有 $p_{ij}$ 之和 = 1。
3. 边缘分布：对行求和得 $X$ 的边缘分布，对列求和得 $Y$ 的边缘分布。
4. 概率计算：$P((X,Y) \in D) = \sum_{(x_i,y_j) \in D} p_{ij}$。

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四、例题精解

【例题1】求联合分布律

题目：袋中有2个红球和3个白球，不放回地取2次，每次取1个。设 $X$ = 第一次取到的红球数（0或1），$Y$ = 第二次取到的红球数（0或1）。求 $(X,Y)$ 的联合分布律。

解答：

第一步：列出所有取值

$(X,Y)$ 可能取 $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$。

第二步：计算各概率

$P(X=0,Y=0) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$P(X=0,Y=1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

$P(X=1,Y=0) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$P(X=1,Y=1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

第三步：写出联合分布律表格

$X \backslash Y$	0	1	合计
0	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$
1	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$
合计	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$	$1$

第四步：验证

所有概率之和 $= \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1$ ✓

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【例题2】由联合分布求概率

题目：接例题1，求 $P(X + Y = 1)$。

解答：

第一步：分析

$X + Y = 1$ 对应 $(X,Y) = (0,1)$ 或 $(1,0)$。

第二步：计算

$P(X+Y=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

第三步：验证

$P(X+Y=0) = P(X=0,Y=0) = \frac{3}{10}$$P(X+Y=1) = \frac{3}{5}$$P(X+Y=2) = P(X=1,Y=1) = \frac{1}{10}$ 总和 $= \frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$ ✓

第四步：结论

$P(X+Y=1) = \frac{3}{5}$。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择/填空	求联合分布律	4分
中频	计算题	由联合分布求概率	10分
基础	表格题	边缘分布的提取	4分

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六、易错点

1. 概率计算顺序：不放回抽样中，第二次的概率依赖于第一次的结果（条件概率）。
2. 归一性验证：表格中所有概率之和必须为1。
3. 边缘分布的含义：边缘分布是从联合分布中"提取"的单个变量的分布，不等于联合分布。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第3章 §3.1
大纲	考研数学一大纲"二维离散型随机变量及其分布"