数学一

线性代数

n维向量空间、基变换与坐标变换

定位信息

• 章节：第三章 向量 §3.4
• 编号：MATH-LIN-12
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：中频考点，约2-3年一次

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一、知识点讲解

12.1 向量空间

定义：$V$ 是 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对向量加法和数乘封闭（即 $\forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{R}$，有 $\alpha + \beta \in V, k\alpha \in V$），则称 $V$ 为一个向量空间。

常见向量空间：

• $\mathbb{R}^n$：全体 $n$ 维实向量
• 齐次方程组 $Ax = 0$ 的解空间（$A$ 为 $m \times n$ 矩阵）
• $V = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T : x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\}$

12.2 基与维数

基：$V$ 中 $r$ 个线性无关的向量 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r$，若 $V$ 中任意向量都可由它们线性表示，则称其为 $V$ 的一组基。

维数：基中向量的个数 $r$ 称为 $V$ 的维数，记 $\dim V = r$。

坐标：$V$ 中向量 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r$ 下的表示系数 $(x_1, \ldots, x_r)^T$ 称为 $\alpha$ 在该基下的坐标。

$\alpha = x_1\varepsilon_1 + x_2\varepsilon_2 + \cdots + x_r\varepsilon_r$

12.3 基变换与过渡矩阵

设 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 和 $\eta_1, \ldots, \eta_n$ 是 $V$ 的两组基，且

$(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n)P$

则 $P$ 称为从基 $\varepsilon$ 到基 $\eta$ 的过渡矩阵。

过渡矩阵的性质：

• $P$ 可逆
• 从 $\eta$ 到 $\varepsilon$ 的过渡矩阵为 $P^{-1}$

12.4 坐标变换公式

设 $\alpha$ 在基 $\varepsilon$ 下的坐标为 $x$，在基 $\eta$ 下的坐标为 $y$，则

$\boxed{x = Py}$

即新坐标 = 过渡矩阵 × 旧坐标（或理解为：旧坐标 = 过渡矩阵 × 新坐标）。

注意方向：$(\eta_1, \ldots, \eta_n) = (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n)P$，则 $x = Py$。过渡矩阵 $P$ 的列是新基的旧坐标。

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二、记忆辅助

1. 基 = 极大无关组：向量空间的基就是该空间中"最多能有多少个线性无关的向量"
2. 坐标变换公式：$x = Py$，$P$ 是"从旧基到新基的过渡矩阵" —— "旧坐标 = 过渡 × 新坐标"
3. 过渡矩阵可逆：基变换是可逆操作，逆变换的过渡矩阵就是 $P^{-1}$

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三、例题精解

例1：求过渡矩阵与坐标变换

题目：$\mathbb{R}^2$ 中，旧基 $\varepsilon_1 = (1,0)^T, \varepsilon_2 = (0,1)^T$，新基 $\eta_1 = (1,1)^T, \eta_2 = (1,-1)^T$。求从旧基到新基的过渡矩阵 $P$；若 $\alpha$ 在新基下坐标为 $(2,1)^T$，求 $\alpha$ 在旧基下的坐标。

第一步：审题与分析 先写出过渡矩阵，再用坐标变换公式。

第二步：选择方法 由 $(\eta_1, \eta_2) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2)P$ 求 $P$。

第三步：完整计算

$(\eta_1, \eta_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} P$

所以 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$。

新坐标 $y = (2,1)^T$，旧坐标 $x = Py$：

$x = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$\boxed{P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad x = (3,1)^T}$

验证：$\alpha = 2\eta_1 + 1\eta_2 = 2(1,1)^T + (1,-1)^T = (3,1)^T = 3\varepsilon_1 + 1\varepsilon_2$ ✓

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例2：过渡矩阵的逆

题目：设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 和 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，且 $\eta_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$，$\eta_2 = \varepsilon_2 + \varepsilon_3$，$\eta_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_3$。求从 $\eta$ 到 $\varepsilon$ 的过渡矩阵。

第一步：审题与分析 从 $\varepsilon$ 到 $\eta$ 的过渡矩阵 $P$ 满足 $(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)P$，从 $\eta$ 到 $\varepsilon$ 的过渡矩阵为 $P^{-1}$。

第二步：选择方法 先求 $P$，再求 $P^{-1}$。

第三步：完整计算

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$|P| = 1(1-0) - 0 + 1(1-0) = 2$

$P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$\boxed{P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \ -1 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$。验证：$PP^{-1}$ 的 $(1,1)$ 元 $= \frac{1}{2}(1+0+1) = 1$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：填空题（求过渡矩阵）、解答题（坐标变换计算）
• 考查重点：过渡矩阵的求法、坐标变换公式
• 命题趋势：近年来单独出题频率不高，但与相似对角化等章节有关联
• 分值占比：约3-5分

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五、易错点

1. 坐标变换的方向：$x = Py$ 中 $P$ 是从旧基到新基的过渡矩阵，不是反过来。搞反方向会得到错误结果
2. 过渡矩阵的列：$P$ 的第 $j$ 列是新基 $\eta_j$ 在旧基 $\varepsilon$ 下的坐标，不要搞混行和列
3. 基变换只对同空间有效：不同维数的向量空间之间不能做基变换

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第3章 §3.5
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第3章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第6讲