MATH-PRO-09 离散型随机变量及其分布律

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第二章 随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-09
前置知识	MATH-PRO-08（随机变量与分布函数）
后续关联	MATH-PRO-11（常见分布）、MATH-PRO-12（随机变量函数的分布）
考试地位	基础模型，与常见分布紧密相连
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 离散型随机变量的定义

若随机变量 $X$ 的所有可能取值为有限个或可列无穷个，则称 $X$ 为离散型随机变量。

2. 分布律（概率分布）

定义：设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots$，则

$\boxed{P(X = x_k) = p_k, \quad k = 1, 2, \ldots}$

称为 $X$ 的分布律（或概率分布）。

分布律的表格形式：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_k$	$\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_k$	$\cdots$

基本性质：

1. 非负性：$p_k \geq 0$，$k = 1, 2, \ldots$
2. 归一性：$\sum_{k} p_k = 1$

重要：满足以上两条性质的数列 $\{p_k\}$ 一定可以作为某个离散型随机变量的分布律。

3. 分布函数与分布律的关系

离散型随机变量 $X$ 的分布函数为：

$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_k \leq x} p_k$

$F(x)$ 是一个阶梯函数，在每个 $x_k$ 处有跳跃，跳跃高度为 $p_k$。

4. 常见离散型分布的分布律概览

分布	记号	$P(X=k)$	参数范围
0-1分布	$B(1,p)$	$p^k(1-p)^{1-k}$	$0 < p < 1$
二项分布	$B(n,p)$	$C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$	$n \geq 1$，$0 < p < 1$
泊松分布	$P(\lambda)$	$\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda > 0$
几何分布	$G(p)$	$(1-p)^{k-1}p$	$0 < p < 1$
超几何分布	$H(n,M,N)$	$\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$	—

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三、记忆辅助

1. 分布律两条：非负性（$p_k \geq 0$）+ 归一性（$\sum p_k = 1$）——"非、一"。
2. 分布函数 = 阶梯函数：每个取值点处跳跃，跳跃高度 = 该点概率。
3. 求分布律三步：(1) 确定 $X$ 的所有取值；(2) 求每个取值的概率；(3) 验证归一性。
4. 离散型概率计算：$P(X \in A) = \sum_{x_k \in A} p_k$——"满足条件的加起来"。

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四、例题精解

【例题1】求分布律

题目：袋中有2个红球和3个白球，从中不放回地取3个球。设 $X$ 为取到的红球数，求 $X$ 的分布律。

解答：

第一步：确定 $X$ 的取值

红球共2个，取3个球，红球数 $X$ 可能为 0, 1, 2。

第二步：计算各取值的概率

$P(X=0) = \frac{C_2^0 C_3^3}{C_5^3} = \frac{1}{10}$

$P(X=1) = \frac{C_2^1 C_3^2}{C_5^3} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{C_2^2 C_3^1}{C_5^3} = \frac{3}{10}$

第三步：写出分布律

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

第四步：验证归一性

$\frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1 \quad ✓$

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【例题2】由分布律求分布函数

题目：设随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=-1)=\frac{1}{4}$，$P(X=0)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{4}$。求 $X$ 的分布函数。

解答：

第一步：确定分段点

$X$ 的取值为 $-1, 0, 1$，分布函数在这些点有跳跃。

第二步：逐段写出 $F(x)$

• 当 $x < -1$ 时：$F(x) = 0$
• 当 $-1 \leq x < 0$ 时：$F(x) = P(X = -1) = \frac{1}{4}$
• 当 $0 \leq x < 1$ 时：$F(x) = P(X = -1) + P(X = 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
• 当 $x \geq 1$ 时：$F(x) = 1$

第三步：写出分布函数

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{4}, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{3}{4}, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$

第四步：验证

• $F(-\infty) = 0$ ✓，$F(+\infty) = 1$ ✓
• $F(x)$ 单调不减 ✓，右连续 ✓
• 跳跃高度：$F(-1) - F(-1^-) = \frac{1}{4} = P(X=-1)$ ✓

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择/填空	求分布律、验证归一性	4分
中频	解答题	由分布律求分布函数	10分
基础	计算	离散型概率计算	4分

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六、易错点

1. 遗漏取值：必须穷举 $X$ 的所有可能取值，否则归一性不满足。
2. 分布函数的分段区间：注意"$\leq$"和"$<$"的使用，$F(x)$ 在 $x_k$ 处右连续。
3. 归一性验证：求出分布律后一定要验证 $\sum p_k = 1$，这是检验计算是否正确的重要手段。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第2章 §2.2
大纲	考研数学一大纲"离散型随机变量及其分布律"