MATH-CAL-07 函数的连续性与间断点分类

数学一

高等数学

函数的连续性与间断点分类

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一、定位信息

• 圈层：核心层
• 前置知识回顾：需掌握极限的定义（包括左极限、右极限）、极限的性质、函数在一点的极限与函数值的关系。理解分段函数的概念。
• 知识网络定位：连续性是连接极限与导数的桥梁——可导必连续，连续是可积的必要条件。间断点的分类是连续性理论的重要应用，也是考研数学的高频考点。
• 考点热度等级：H级（高频重点）——间断点的分类与判断近5年出现约4–5次，常以选择题形式出现，分值4–5分。

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二、知识点讲解

2.1 函数在一点连续的定义

定义（$\varepsilon$-$\delta$ 形式）：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

等价条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Leftrightarrow$ 以下三个条件同时满足：

1. $f(x_0)$ 有定义
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

增量形式：设 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则：

$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 处连续} \iff \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$

左连续与右连续：

• 左连续：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$
• 右连续：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。

2.2 区间上的连续性

• $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上连续：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内每一点都连续
• $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内每一点都连续，且在 $a$ 处右连续、在 $b$ 处左连续

2.3 间断点的定义

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续（即连续三条件中至少有一个不满足），则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点（或不连续点）。

2.4 间断点的分类

间断点按左右极限是否存在进行分类：

类型	条件	特征	子类型
第一类间断点	左右极限都存在	"跳跃"或"可修补"	可去间断点、跳跃间断点
第二类间断点	左右极限至少有一个不存在	"发散"或"振荡"	无穷间断点、振荡间断点等

（1）可去间断点

条件：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$（极限存在），但 $f(x_0)$ 无定义或 $f(x_0) \neq A$。

特征：函数图像在 $x_0$ 处有一个"洞"，可以通过重新定义 $f(x_0) = A$ 来"修补"。

例子：$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处（$f(0)$ 无定义，但 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$）。

（2）跳跃间断点

条件：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = B$，$A \neq B$（左右极限都存在但不相等）。

特征：函数图像在 $x_0$ 处有一个"跳跃"。

例子：$f(x) = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x < 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处。

（3）无穷间断点

条件：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$ 或 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$（左右极限至少有一个为无穷大）。

特征：函数图像在 $x_0$ 处有垂直渐近线。

例子：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处（$\lim_{x \to 0^-} = -\infty$，$\lim_{x \to 0^+} = +\infty$）。

（4）振荡间断点

条件：$x \to x_0$ 时 $f(x)$ 振荡且无极限（左右极限都不存在，且不是无穷大）。

例子：$f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处。

2.5 间断点类型对比表

间断点类型	左极限	右极限	典型例子	图像特征
可去间断点	存在	存在	$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$	一个"洞"
跳跃间断点	存在	存在	$\text{sgn}(x)$ 在 $x=0$	阶梯跳变
无穷间断点	$\pm\infty$	$\pm\infty$ 或存在	$\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$	垂直渐近线
振荡间断点	不存在	不存在	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$	剧烈振荡

2.6 连续函数的运算

定理：若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x_0$ 处连续，则：

• $f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
• $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
• $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连续（$g(x_0) \neq 0$）

定理（复合函数的连续性）：若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则 $f[g(x)]$ 在 $x_0$ 处连续。

重要推论：若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$，$f(u)$ 在 $u_0$ 处连续，则：

$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f[\lim_{x \to x_0} g(x)] = f(u_0)$

即"连续函数的极限符号和函数符号可以交换"。这一结论在实际计算中极为有用——如 $\lim_{x \to 0} e^{\sin x} = e^{\lim \sin x} = e^0 = 1$。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：连续性的"三条件检验法" 判断 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否连续，按顺序检查三个条件： ① $f(x_0)$ 有定义吗？→ 无定义则不连续 ② $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在吗？→ 不存在则不连续 ③ 极限值 = 函数值吗？→ 不等则不连续

三个条件都满足 → 连续；任一不满足 → 间断。

技巧2：间断点分类的"决策树"

先判断左右极限是否存在
├── 都存在 → 第一类间断点
│   ├── 左极限 = 右极限 → 可去间断点
│   └── 左极限 ≠ 右极限 → 跳跃间断点
└── 至少一个不存在 → 第二类间断点
    ├── 极限为 ±∞ → 无穷间断点
    └── 振荡无极限 → 振荡间断点

技巧3：间断点类型速记

特征	间断点类型
极限存在但≠函数值	可去
左右极限存在但不相等	跳跃
极限为无穷	无穷
极限不存在且不为无穷	振荡

技巧4：常见函数的间断点

函数	间断点	类型
$\dfrac{1}{x}$	$x = 0$	无穷间断点
$\dfrac{\sin x}{x}$	$x = 0$	可去间断点
$\tan x$	$x = k\pi + \dfrac{\pi}{2}$	无穷间断点
$e^{\frac{1}{x}}$	$x = 0$	第二类（$\lim_{x \to 0^-} = 0$，$\lim_{x \to 0^+} = +\infty$）
$\sin\dfrac{1}{x}$	$x = 0$	振荡间断点

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查分段函数在分段点处连续性的判断。

题目：设 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 2x}{x}, & x < 0 \ a, & x = 0 \ \dfrac{e^{bx} - 1}{x}, & x > 0 \end{cases}$，在 $x = 0$ 处连续，求 $a, b$ 的值。

审题分析：

• $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续要求 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
• 需分别计算左极限和右极限

解题思路：分别计算左极限和右极限，令其等于 $f(0) = a$。

完整步骤：

左极限：

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$

（利用 $\sin 2x \sim 2x$，$x \to 0$）

右极限：

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{bx} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{bx}{x} = b$

（利用 $e^{bx} - 1 \sim bx$，$x \to 0$）

连续条件：

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$

$2 = a = b$

故 $a = 2$，$b = 2$。

方法反思：分段函数在分段点处的连续性判断标准步骤：①计算左极限；②计算右极限；③写出函数值；④令三者相等求参数。关键工具是等价无穷小替换。

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例题2（中等提升）

命题意图：考查间断点的判断与分类。

题目：求函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有间断点，并判断其类型。

审题分析：

• 间断点出现在分母为零处：$x^2 - 3x + 2 = 0$
• 需要判断每个间断点处的极限

解题思路：先求分母的零点，再分别计算各间断点处的极限。

完整步骤：

第一步：找间断点

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$，故 $x = 1$ 和 $x = 2$ 是间断点。

第二步：化简函数

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1)$

第三步：判断 $x = 1$ 处的类型

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{1+1}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$

极限存在且等于 $-2$，但 $f(1)$ 无定义（分母为零）。

故 $x = 1$ 为可去间断点。

第四步：判断 $x = 2$ 处的类型

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{0^-} = -\infty$

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$

左右极限都为无穷大（方向不同），故 $x = 2$ 为无穷间断点。

结论：$x = 1$ 为可去间断点，$x = 2$ 为无穷间断点。

方法反思：间断点分类的标准流程：①找分母零点或函数无定义的点；②化简函数（约去公因子）；③分别计算各间断点处的左、右极限；④根据极限情况分类。化简是关键——可去间断点往往隐藏在可约去的公因子中。

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五、考情分析

• 考查频次：间断点分类近5年出现约4–5次，连续性概念约2–3次
• 常见题型：选择题（判断间断点类型）、填空题（求参数使函数连续）
• 分值占比：约占高数部分的3%–5%（4–5分）
• 命题趋势：间断点分类是高频选择题考点，近年有向"含参函数的连续性"和"分段函数的连续性"方向发展的趋势。

注：以上考情数据基于大纲与命题规律推测，待真题分析子代理产出《命题权重矩阵》后校准。

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六、易错点提醒

易错点1：忽略可去间断点

• 错误表现：$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处有定义吗？——误认为有定义（化简后为 $x + 1$）
• 错误原因：化简只在 $x \neq 1$ 时成立，$x = 1$ 时原函数分母为零，无定义
• 正确做法：先找无定义点，再化简求极限。$x = 1$ 无定义但极限存在，所以是可去间断点

易错点2：将无穷间断点误判为可去间断点

• 错误表现：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处，误认为左右极限"相等"（都是"无穷"）
• 错误原因：$\lim_{x \to 0^-} = -\infty$，$\lim_{x \to 0^+} = +\infty$，虽然"都是无穷"但方向不同
• 正确做法：无穷间断点的判断标准是"极限为无穷大"（包括 $+\infty$ 和 $-\infty$），不需要左右极限方向相同

易错点3：混淆"第一类"和"第二类"间断点

• 错误表现：认为无穷间断点是第一类（因为"只有"一个方向的无穷）
• 错误原因：第一类要求左右极限都存在（有限数），无穷大不是"存在"
• 正确做法：分类依据——左右极限都存在（有限）为第一类；否则为第二类。无穷大、振荡、单侧不存在都归第二类

易错点4：忘记检查分段函数在分段点处的连续性

• 错误表现：分段函数只检查各段内部的连续性，忘记检查分段点
• 错误原因：各段内部是初等函数（天然连续），但分段点处的连续性需要单独验证
• 正确做法：分段函数的连续性检查包括两部分：①各段内部（通常自动满足）；②分段点处（需要计算左右极限并与函数值比较）

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七、来源标注

• 依据2026考研数学一统考大纲
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）