数学一

线性代数

分块矩阵及其运算

定位信息

• 章节：第二章 矩阵 §2.6
• 编号：MATH-LIN-08
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：中频考点，约2-3年一次

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一、知识点讲解

8.1 分块矩阵的概念

将矩阵 $A$ 用横线和纵线分成若干小块（子矩阵），每块视为一个"元素"，称为分块矩阵。

例如 $4 \times 4$ 矩阵可以分块为：

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$

其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 为子矩阵。

8.2 分块矩阵的运算

加法：同型分块矩阵对应块相加（要求分块方式相同）。

数乘：每块都乘以常数。

乘法：若 $A$ 的列分法与 $B$ 的行分法一致（子块维数匹配），则

$AB = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix}$

注意：分块矩阵乘法要求子块的乘法顺序与普通矩阵一致（$A_{ij}B_{jk}$ 的顺序不能颠倒）。

转置：$(A^T)_{ij} = (A_{ji})^T$ —— 先转块的位置，再对每块取转置。

8.3 特殊分块矩阵

准对角矩阵（分块对角矩阵）：

$A = \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & A_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{pmatrix} = \text{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_s)$

性质：

• $|A| = |A_1| \cdot |A_2| \cdots |A_s|$
• $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 每个 $A_i$ 可逆，且 $A^{-1} = \text{diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1}, \ldots, A_s^{-1})$
• $A^k = \text{diag}(A_1^k, A_2^k, \ldots, A_s^k)$

准上三角（分块三角）矩阵：

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix}$

• $|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22}|$
• $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A_{11}, A_{22}$ 都可逆

8.4 分块矩阵求逆

对 $\begin{pmatrix} A & O \ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \ O & B^{-1} \end{pmatrix}$

对 $\begin{pmatrix} O & A \ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \ A^{-1} & O \end{pmatrix}$

对 $\begin{pmatrix} A & C \ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \ O & B^{-1} \end{pmatrix}$

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二、记忆辅助

1. 分块对角："各管各的" —— 行列式相乘、逆分别求、幂分别算
2. 分块三角："行列式等于对角块之积" —— 与普通三角行列式类似
3. 转置的分块：先"翻块"再"翻每块" —— 位置转置 + 每块转置

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三、例题精解

例1：分块矩阵的行列式

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \ 3 & 4 & 0 & 0 \ 5 & 6 & 1 & 1 \ 7 & 8 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，求 $|A|$。

第一步：审题与分析 左上角 $2 \times 2$ 和右下角 $2 \times 2$ 都非零，右上角为零块，这是准下三角分块。

第二步：选择方法 分块三角行列式 $=$ 对角块行列式之积。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & O \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$

其中 $A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$A_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$。

$|A_{11}| = 4 - 6 = -2$

$|A_{22}| = 2 - 1 = 1$

$|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22}| = (-2)(1) = -2$

第四步：验证与总结$\boxed{|A| = -2}$。分块三角行列式简化了4阶行列式的计算。

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例2：分块矩阵求逆

题目：设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$，求 $A^{-1}$。

第一步：审题与分析 分块对角矩阵，$A = \text{diag}(A_1, A_2)$，其中 $A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{pmatrix}$。

第二步：选择方法 分别求 $A_1^{-1}$ 和 $A_2^{-1}$。

第三步：完整计算

$|A_1| = 2-1 = 1$，$A_1^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$|A_2| = 6-5 = 1$，$A_2^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

第四步：验证与总结$\boxed{A^{-1}}$ 如上。验证 $AA^{-1}$ 的左上块：$\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：选择题/填空题（分块行列式、分块求逆）、解答题（分块矩阵的秩、性质证明）
• 考查重点：分块对角/三角矩阵的行列式和逆、分块矩阵的秩
• 命题趋势：分块矩阵常作为简化计算的工具出现在大题中
• 分值占比：约3-5分

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五、易错点

1. 分块乘法的维数匹配：$A$ 的列分法必须与 $B$ 的行分法一致，否则不能直接做分块乘法
2. 转置时块的位置和每块都要转：$(A^T)_{ij} = (A_{ji})^T$，两步都不能少
3. 分块三角行列式：只有准上三角或准下三角（一角为零块）才能用 $|A| = |A_{11}||A_{22}|$，一般四块都不为零时不能直接乘
4. 分块求逆的适用条件：对角块必须都可逆，否则整个矩阵不可逆

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第2章 §2.7
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第2章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第4讲