数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-20：换元积分法（第一类、第二类）

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：不定积分的概念与基本积分公式（MATH-CAL-19）、复合函数求导的链式法则（MATH-CAL-10）。换元积分法本质上是链式求导法则的逆用。
• 知识网络定位：本单元是不定积分计算的核心方法之一，上承基本积分公式，下启分部积分法和定积分计算。掌握换元法是解决绝大多数积分问题的关键。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。换元积分法几乎每年必考，既可单独出题，也常作为综合题的关键步骤。

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二、知识点讲解

2.1 第一类换元法（凑微分法）

定理（第一类换元法）：设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$，$u = \varphi(x)$ 可导，则

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = F[\varphi(x)] + C$

即

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = \left[\int f(u)\,du\right]_{u=\varphi(x)}$

直观解释：如果被积函数可以写成 $g(x) = f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$ 的形式，那么令 $u = \varphi(x)$，就有 $du = \varphi'(x)\,dx$，从而将复杂的积分化为关于 $u$ 的简单积分。

核心步骤：

1. 凑微分：从被积函数中找出 $\varphi'(x)\,dx$，写成 $d[\varphi(x)]$
2. 换元：令 $u = \varphi(x)$，将积分化为 $\int f(u)\,du$
3. 积分：用基本公式求出 $\int f(u)\,du = F(u) + C$
4. 回代：将 $u = \varphi(x)$ 代回

例子：求 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$

注意到 $2x\,dx = d(x^2)$，令 $u = x^2$，则

$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$

2.2 常用凑微分技巧

被积函数特征	凑微分方法	换元
$f(ax+b)$	$dx = \frac{1}{a}d(ax+b)$	$u = ax+b$
$x^{n-1}f(x^n)$	$x^{n-1}dx = \frac{1}{n}d(x^n)$	$u = x^n$
$e^x f(e^x)$	$e^x dx = d(e^x)$	$u = e^x$
$\frac{f'(\ln x)}{x}$	$\frac{dx}{x} = d(\ln x)$	$u = \ln x$
$\cos x \cdot f(\sin x)$	$\cos x\,dx = d(\sin x)$	$u = \sin x$
$\sin x \cdot f(\cos x)$	$\sin x\,dx = -d(\cos x)$	$u = \cos x$
$\sec^2 x \cdot f(\tan x)$	$\sec^2 x\,dx = d(\tan x)$	$u = \tan x$
$\frac{f(\arctan x)}{1+x^2}$	$\frac{dx}{1+x^2} = d(\arctan x)$	$u = \arctan x$

2.3 第二类换元法（变量替换法）

定理（第二类换元法）：设 $x = \varphi(t)$ 单调可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，又设 $f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 具有原函数 $G(t)$，则

$\int f(x)\,dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt = G(t) + C = G[\varphi^{-1}(x)] + C$

其中 $t = \varphi^{-1}(x)$ 是 $x = \varphi(t)$ 的反函数。

直观解释：第一类换元法是"从复杂到简单"（将 $\varphi(x)$ 替换为 $u$），第二类换元法则是"从简单到复杂"——引入新的参数 $t$，将 $x$ 表示为 $t$ 的函数，使被积函数变得更易处理。

与第一类换元法的对比：

对比项	第一类换元法	第二类换元法
换元方向	$u = \varphi(x)$（将 $x$ 换为 $u$）	$x = \varphi(t)$（将 $x$ 用 $t$ 表示）
出发点	被积函数中已含 $\varphi(x)$ 和 $\varphi'(x)$	被积函数中需要引入新变量来简化
本质	链式法则的逆用	变量替换
典型应用	凑微分	去根号、三角替换

2.4 常用第二类换元

1. 三角替换

被积函数含	替换	利用恒等式
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin t$	$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan t$	$1 + \tan^2 t = \sec^2 t$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec t$	$\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$

2. 倒代换

当被积函数为有理函数且分子次数远低于分母次数时，可令 $x = \frac{1}{t}$。

3. 根号代换

遇到 $\sqrt[n]{ax+b}$ 型，令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$，则 $x = \frac{t^n - b}{a}$。

2.5 三角替换后的回代方法

以 $x = a\sin t$ 为例，积分完成后需要将 $t$ 换回 $x$。方法是画直角三角形：

• 由 $x = a\sin t$ 得 $\sin t = \frac{x}{a}$
• 构造直角三角形：对边为 $x$，斜边为 $a$，邻边为 $\sqrt{a^2 - x^2}$
• 由此可得 $\cos t = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$，$\tan t = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 等

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三、记忆与理解辅助

技巧1：第一类换元口诀——"凑、换、积、回"

四步走：凑微分 → 换元 → 积分 → 回代。核心在第一步"凑"，凑不出来就换思路。

技巧2：三角替换口诀

"见根号下平方差，正弦替换 $a\sin t$；见根号下平方和，正切替换 $a\tan t$；见根号下减平方，正割替换 $a\sec t$。"

技巧3：两类换元法的本质对比

第一类换元法是"识别模式"——在被积函数中找到 $f[\varphi(x)]\varphi'(x)$ 的结构。 第二类换元法是"构造模式"——主动引入新变量使被积函数变简单。

第一类换元法使用更频繁，但第二类换元法在处理根号时不可替代。

技巧4：换元必换限（定积分情形）

在定积分中使用换元法时，积分上下限也要随之改变：若 $x = \varphi(t)$，则 $x = a$ 对应 $t = \varphi^{-1}(a)$，$x = b$ 对应 $t = \varphi^{-1}(b)$。此要点在定积分部分详述。

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四、例题与精解

例1（基础——第一类换元法）

命题意图：考查凑微分法的基本运用。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int \frac{x}{1+x^4}\,dx$。

审题分析：分母含 $x^4 = (x^2)^2$，分子含 $x$，而 $x\,dx = \frac{1}{2}d(x^2)$，适合用第一类换元法。

解题思路：令 $u = x^2$，将被积函数化为 $\frac{1}{1+u^2}$ 的标准形式。

完整步骤：

$\int \frac{x}{1+x^4}\,dx$

令 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$，即 $x\,dx = \frac{1}{2}du$

$= \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u^2}\,du = \frac{1}{2}\arctan u + C$

回代 $u = x^2$：

$= \frac{1}{2}\arctan(x^2) + C$

方法反思：遇到 $x^{n-1} f(x^n)$ 型被积函数，令 $u = x^n$ 是标准思路。本题中 $n=2$，$f(u) = \frac{1}{1+u^2}$。

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例2（中等——第二类换元法）

命题意图：考查三角替换法处理含根号的积分。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\,dx$。

审题分析：被积函数含 $\sqrt{4-x^2}$，属于 $\sqrt{a^2-x^2}$ 型（$a=2$），应使用三角替换 $x = 2\sin t$。

解题思路：令 $x = 2\sin t$，利用 $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ 消去根号。

完整步骤：

令 $x = 2\sin t$，$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $dx = 2\cos t\,dt$。

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2 t} = 2\cos t$

（注意：$t \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $\cos t > 0$，因此 $\sqrt{\cos^2 t} = \cos t$）

代入积分：

$\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\,dx = \int \frac{2\cos t}{4\sin^2 t} \cdot 2\cos t\,dt = \int \frac{4\cos^2 t}{4\sin^2 t}\,dt = \int \cot^2 t\,dt$

利用恒等式 $\cot^2 t = \csc^2 t - 1$：

$= \int (\csc^2 t - 1)\,dt = -\cot t - t + C$

回代：由 $x = 2\sin t$ 得 $\sin t = \frac{x}{2}$，构造直角三角形：对边 $x$，斜边 $2$，邻边 $\sqrt{4-x^2}$。

$\cot t = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x}, \quad t = \arcsin\frac{x}{2}$

因此

$\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\,dx = -\frac{\sqrt{4-x^2}}{x} - \arcsin\frac{x}{2} + C$

方法反思：三角替换的关键是正确画出辅助三角形来回代。替换后要注意三角函数的正负号，取决于 $t$ 的取值范围。

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五、考情分析

• 考查频次：换元积分法在近5年真题中出现约 6-8次，是积分部分最高频的考点之一。
• 常见题型：填空题（直接计算不定积分）、解答题（作为综合计算的一部分）。
• 分值占比：填空题4-5分，解答题中作为关键步骤通常涉及8-12分。
• 命题趋势：第一类换元法（凑微分）是基础中的基础，每年必考；第二类换元法（三角替换）通常出现在中等难度以上的题目中。近年来有将换元法与定积分、反常积分结合考查的趋势。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：三角替换后回代时符号错误

• 错误表现：令 $x = a\sin t$ 后，错误地写成 $\sqrt{a^2-x^2} = -a\cos t$。
• 错误原因：没有注意 $t$ 的取值范围。当 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，$\cos t > 0$。
• 正确做法：始终将 $t$ 限制在使替换函数单调的区间内，并在此区间内判断三角函数的符号。

易错点2：凑微分时遗漏系数

• 错误表现：计算 $\int \cos(3x)\,dx$ 时，错误地写成 $\sin(3x) + C$。
• 错误原因：$d(3x) = 3\,dx$，所以需要乘以 $\frac{1}{3}$ 来补偿。
• 正确做法：$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$。记住：$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C$。

易错点3：第二类换元后忘记回代

• 错误表现：用三角替换后，最终结果仍然用 $t$ 表示，没有换回 $x$。
• 错误原因：积分完成后忘记最后一步"回代"。
• 正确做法：不定积分的结果必须用原积分变量 $x$ 表示。定积分可以不回代而直接用新变量的上下限计算。

易错点4：根号开方时遗漏绝对值

• 错误表现：$\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$ 未考虑 $\cos t$ 的正负。
• 错误原因：$\sqrt{\cos^2 t} = |\cos t|$，只有当 $\cos t \geq 0$ 时才等于 $\cos t$。
• 正确做法：根据替换变量的取值范围确定三角函数的符号。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了换元积分法的两种类型，它们是不定积分计算的两大核心方法之一（另一个是分部积分法）。