MATH-PRO-31 区间估计

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第七章 参数估计
知识单元编号	MATH-PRO-31
前置知识	MATH-PRO-27（抽样分布）、MATH-PRO-28~30（点估计）
后续关联	MATH-PRO-32~34（假设检验）
考试地位	解答题高频，公式必须背熟
难度等级	★★★★☆

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二、知识点讲解

1. 置信区间的定义

定义：设总体分布含参数 $\theta$，$X_1, \ldots, X_n$ 为样本。若统计量 $\hat{\theta}_L$ 和 $\hat{\theta}_U$ 满足：

$P(\hat{\theta}_L \leq \theta \leq \hat{\theta}_U) = 1 - \alpha$

则称 $[\hat{\theta}_L, \hat{\theta}_U]$ 为 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。

注意：置信区间是随机区间，$\theta$ 是常数。"$1-\alpha$ 的置信水平"意味着：反复抽样时，约 $100(1-\alpha)\%$ 的区间会包含真值 $\theta$。

2. 单个正态总体的置信区间

设 $X_1, \ldots, X_n$ 为来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。

（1）$\sigma$ 已知，$\mu$ 的置信区间

$\left[\bar{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}, \quad \bar{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right]$

（2）$\sigma$ 未知，$\mu$ 的置信区间

$\left[\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1), \quad \bar{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right]$

（3）$\sigma^2$ 的置信区间（$\mu$ 未知）

$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \quad \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$

3. 两个正态总体的置信区间

设 $X_1, \ldots, X_{n_1}$ 来自 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y_1, \ldots, Y_{n_2}$ 来自 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$。

（1）$\mu_1 - \mu_2$ 的置信区间（$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知）

$\left[\bar{X}-\bar{Y} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \quad \bar{X}-\bar{Y} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right]$

（2）$\mu_1 - \mu_2$ 的置信区间（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ 未知）

$\left[\bar{X}-\bar{Y} - t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \quad \bar{X}-\bar{Y} + t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]$

（3）$\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信区间

$\left[\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}, \quad \frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)\right]$

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三、置信区间公式速查表

待估参数	条件	统计量	分布	置信区间
$\mu$	$\sigma$ 已知	$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$\bar{X} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\mu$	$\sigma$ 未知	$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$
$\sigma^2$	$\mu$ 未知	$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$\chi^2(n-1)$	$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right]$

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四、记忆辅助

1. $\sigma$ 已知用 $Z$，$\sigma$ 未知用 $t$——与假设检验一致。
2. 置信区间形式：点估计 $\pm$ 临界值 $\times$ 标准误。
3. $\chi^2$ 区间不对称：$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right]$——注意上下限的 $\chi^2$ 分位数是反的。
4. 置信水平越高，区间越宽：$1-\alpha$ 越大 → $z_{\alpha/2}$ 越大 → 区间越宽。

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五、例题精解

【例题1】$\sigma$ 未知时 $\mu$ 的置信区间

题目：从正态总体中取16个样本，$\bar{x} = 5.2$，$s = 0.8$。求 $\mu$ 的95%置信区间。（$t_{0.025}(15) = 2.131$）

解答：

第一步：确定公式

$\sigma$ 未知，用 $t$ 分布：$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$

第二步：代入数据

$n = 16$，$\bar{x} = 5.2$，$s = 0.8$，$t_{0.025}(15) = 2.131$

$5.2 \pm 2.131 \times \frac{0.8}{\sqrt{16}} = 5.2 \pm 2.131 \times 0.2 = 5.2 \pm 0.4262$

第三步：计算区间

$[5.2 - 0.4262, \, 5.2 + 0.4262] = [4.7738, \, 5.6262]$

第四步：结论

$\mu$ 的95%置信区间为 $[4.77, 5.63]$。

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【例题2】$\sigma^2$ 的置信区间

题目：接例题1，求 $\sigma^2$ 的95%置信区间。（$\chi^2_{0.025}(15) = 27.488$，$\chi^2_{0.975}(15) = 6.262$）

解答：

第一步：确定公式

$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$

第二步：代入数据

$(n-1)S^2 = 15 \times 0.64 = 9.6$

第三步：计算区间

$\left[\frac{9.6}{27.488}, \frac{9.6}{6.262}\right] = [0.3493, \, 1.5331]$

第四步：结论

$\sigma^2$ 的95%置信区间为 $[0.349, 1.533]$。

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六、考情分析

年份	题型	考点	分值
每年必考	解答题	求置信区间	10-12分
高频	选择题	置信区间的理解	4分
中频	计算	两个总体的置信区间	10分

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七、易错点

1. $\sigma$ 已知用 $Z$，未知用 $t$：选错分布会导致答案错误。
2. $\chi^2$ 区间的分位数方向：上限用 $\chi^2_{1-\alpha/2}$（较小的分位数），下限用 $\chi^2_{\alpha/2}$（较大的分位数）。
3. 置信区间是对参数的：$\theta$ 是常数，区间是随机的，不能说"$\theta$ 有95%的概率在区间内"。

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八、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第7章 §7.4
大纲	考研数学一大纲"区间估计"