数学一

线性代数

正定二次型与正定矩阵

定位信息

• 章节：第六章 二次型 §6.4
• 编号：MATH-LIN-24
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：高频考点，几乎每年涉及

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一、知识点讲解

24.1 正定二次型的定义

二次型 $f = x^TAx$ 是正定的，若对任意非零向量 $x \neq 0$，都有

$f = x^TAx > 0$

此时 $A$ 称为正定矩阵。

24.2 正定的等价条件

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 正定 $\Leftrightarrow$ 以下条件之一：

序号	等价条件
1	$x^TAx > 0$，$\forall x \neq 0$
2	$A$ 的所有特征值 $\lambda_i > 0$
3	$A$ 的正惯性指数 $p = n$
4	$A$ 合同于 $E$（即 $A \simeq E$）
5	存在可逆矩阵 $C$ 使得 $A = C^TC$
6	$A$ 的所有顺序主子式全大于零

24.3 顺序主子式

$A$ 的 $k$ 阶顺序主子式是 $A$ 左上角 $k \times k$ 子矩阵的行列式：

$\Delta_k = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$

正定判别法：$A$ 正定 $\Leftrightarrow$ $\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, \ldots, \Delta_n > 0$。

24.4 其他定号性

类型	条件	特征值
正定	$x^TAx > 0$（$x \neq 0$）	全为正
负定	$x^TAx < 0$（$x \neq 0$）	全为负
半正定	$x^TAx \ge 0$（$\forall x$）	全非负
半负定	$x^TAx \le 0$（$\forall x$）	全非正
不定	$x^TAx$ 有正有负	有正有负

负定的判别：$A$ 负定 $\Leftrightarrow$ $-A$ 正定 $\Leftrightarrow$ 顺序主子式满足 $(-1)^k\Delta_k > 0$（$k = 1, \ldots, n$）。

24.5 正定矩阵的性质

• 正定矩阵的行列式 $> 0$
• 正定矩阵的逆仍为正定
• 正定矩阵的对角元素全为正（$a_{ii} > 0$）
• 两个正定矩阵的和仍为正定
• 正定矩阵的 $k$ 次幂（$k$ 为正整数）仍为正定

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二、记忆辅助

1. 正定六条件："大于零、特征值正、惯性指数满、合同于E、$C^TC$、顺序主子式全正"
2. 顺序主子式判别法：$\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, \ldots, \Delta_n > 0$ —— "左上角依次全正"
3. 负定 = $(-1)^k\Delta_k > 0$：符号交替的顺序主子式条件

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三、例题精解

例1：判断正定性

题目：判断二次型 $f = 5x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 8x_1x_3 - 4x_2x_3$ 是否正定。

第一步：审题与分析 写出矩阵，用顺序主子式法或特征值法。

第二步：选择方法 顺序主子式法（通常计算量较小）。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix}$

顺序主子式：

$\Delta_1 = 5 > 0$ ✓

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 4 = 1 > 0$ ✓

$\Delta_3 = |A| = 5(5-4) - 2(10-8) + (-4)(-4+4) = 5 - 4 + 0 = 1 > 0$ ✓

所有顺序主子式全大于零。

第四步：验证与总结$\boxed{f \text{ 是正定二次型}}$。

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例2：含参数的正定性

题目：$t$ 取何值时，二次型 $f = x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2tx_1x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3$ 正定？

第一步：审题与分析 写出含参数 $t$ 的矩阵，用顺序主子式全正的条件。

第二步：选择方法 顺序主子式法。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

$\Delta_1 = 1 > 0$ ✓（与 $t$ 无关）

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & t \ t & 1 \end{vmatrix} = 1 - t^2 > 0 \Rightarrow -1 < t < 1$

$\Delta_3 = |A| = 1(5-4) - t(5t+2) + (-1)(2t+1) = 1 - 5t^2 - 2t - 2t - 1 = -5t^2 - 4t$

$= -t(5t + 4) > 0$

$t(5t + 4) < 0 \Rightarrow -\frac{4}{5} < t < 0$

综合 $\Delta_2 > 0$ 和 $\Delta_3 > 0$：$-\frac{4}{5} < t < 0$。

第四步：验证与总结$\boxed{-\frac{4}{5} < t < 0}$ 时 $f$ 正定。

验证 $t = -\frac{1}{2}$：$\Delta_2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$ ✓，$\Delta_3 = -(-\frac{1}{2})(5 \times (-\frac{1}{2}) + 4) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} > 0$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（正定性的判定）、解答题（含参数的正定性讨论、证明正定）
• 考查重点：正定的等价条件、顺序主子式判别法、含参数讨论
• 命题趋势：正定性常与特征值、二次型化标准形综合考查
• 分值占比：约5-8分

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五、易错点

1. 顺序主子式 vs 一般子式：正定判别用的是顺序主子式（左上角依次取），不是任意的主子式
2. 正定矩阵的对角元素必须全正：如果某个 $a_{ii} \le 0$，可以直接判定不正定，无需计算
3. 半正定与正定的区别：正定要求严格大于零（$x \neq 0$ 时），半正定允许等于零
4. 负定的顺序主子式条件：$(-1)^k\Delta_k > 0$，符号交替，不是所有顺序主子式都小于零

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第6章 §6.4
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第6章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第10讲