数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-29：定积分应用——功、引力、压力、质心

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：定积分的计算方法（MATH-CAL-25）、微元法思想（MATH-CAL-27）。需要了解基本的物理概念：功 $W = F \cdot s$、万有引力定律、液体压强公式。
• 知识网络定位：本单元是定积分物理应用的核心部分，上承几何应用，是微元法在物理问题中的典型运用。这些内容在考研中常以解答题形式出现。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。变力做功和液体侧压力出现频率中等，引力和质心作为补充考点。

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二、知识点讲解

2.1 变力沿直线做功

物理背景：恒力 $F$ 使物体沿直线移动距离 $s$，做功 $W = Fs$。若力 $F(x)$ 随位置变化，需用定积分。

公式：物体在变力 $F(x)$ 作用下从 $x = a$ 移动到 $x = b$，力沿运动方向，则

$W = \int_a^b F(x)\,dx$

微元法推导：在 $[x, x+dx]$ 上，力近似为 $F(x)$，位移为 $dx$，功微元 $dW = F(x)\,dx$。

典型应用：

• 弹簧做功：胡克定律 $F = kx$（$k$ 为弹性系数），将弹簧从自然长度拉长 $l$：$W = \int_0^l kx\,dx = \frac{1}{2}kl^2$。
• 抽水做功：将水从容器中抽出，需克服重力做功。关键是功微元中包含"水的重量 × 提升高度"。

2.2 液体侧压力

物理背景：液体中深度 $h$ 处的压强为 $p = \rho g h$（$\rho$ 为液体密度，$g$ 为重力加速度）。压强乘以面积得压力。

公式：设薄板垂直放置在液体中，薄板在深度 $y$ 处的宽度为 $x(y)$，薄板上端深度为 $a$，下端深度为 $b$，则薄板一侧所受的压力：

$F = \int_a^b \rho g y \cdot x(y)\,dy$

微元法推导：在深度 $[y, y+dy]$ 处，窄条面积 $\approx x(y)\,dy$，该处压强 $= \rho g y$，压力微元 $dF = \rho g y \cdot x(y)\,dy$。

注意：压力微元中 $y$ 是深度（从液面算起的距离），不是坐标。

2.3 引力

物理背景：质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个质点，距离为 $r$，引力大小 $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$。

细杆对质点的引力：设质量为 $M$、长为 $l$ 的均匀细杆沿 $x$ 轴放置（一端在原点），质量为 $m$ 的质点在 $x = a$（$a > l$）处。将细杆分成微元，每个微元对质点的引力用万有引力公式计算，再积分。

$F = \int_0^l G\frac{m \cdot \frac{M}{l}\,dx}{(a-x)^2} = \frac{GMm}{l}\int_0^l \frac{dx}{(a-x)^2} = \frac{GMm}{l}\left[\frac{1}{a-x}\right]_0^l = \frac{GMm}{l}\left(\frac{1}{a-l} - \frac{1}{a}\right) = \frac{GMm}{a(a-l)}$

注意：引力是矢量，若问题涉及方向（如二维或三维），需对各分量分别积分。

2.4 质心（形心）

一维情形：设细杆位于 $[a,b]$ 上，线密度为 $\rho(x)$，则

• 质量：$M = \int_a^b \rho(x)\,dx$
• 质心坐标：$\bar{x} = \frac{\int_a^b x\rho(x)\,dx}{\int_a^b \rho(x)\,dx}$

二维情形（平面区域的形心）：设平面区域由 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f \geq g$）及 $x = a$、$x = b$ 围成，面密度均匀，则形心坐标：

$\bar{x} = \frac{\int_a^b x[f(x)-g(x)]\,dx}{\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx}, \quad \bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b [f^2(x)-g^2(x)]\,dx}{\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx}$

Pappus 定理（帕普斯定理）：平面区域绕不与之相交的轴旋转所得旋转体的体积，等于该区域的面积乘以形心所经过的路程。

$V = 2\pi \bar{x} \cdot S$

其中 $\bar{x}$ 是形心到旋转轴的距离，$S$ 是区域面积。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：物理应用的微元法统一框架

应用	物理量	微元	公式
变力做功	功	$F(x)\,dx$	$\int_a^b F(x)\,dx$
液体压力	压力	$\rho g y \cdot x(y)\,dy$	$\int_a^b \rho g y \cdot x(y)\,dy$
引力	引力	$G\frac{m\,dm}{r^2}$	积分求总引力
质心	质心坐标	$x\,dm$	$\bar{x} = \frac{\int x\,dm}{\int dm}$

统一思路：物理量 = 强度量 × 广延量微元，然后积分。

技巧2：抽水做功的关键要素

抽水做功微元 = 水的重量微元 × 提升高度

$dW = (\rho g \cdot \text{面积} \cdot dy) \times (\text{提升高度})$

关键是确定：①每层水的体积（面积 × $dy$）；②每层水需要提升的高度。

技巧3：液体压力与深度的关系

深度	压强	压力微元
$y$	$\rho g y$	$\rho g y \cdot x(y)\,dy$

记住：压强与深度成正比（不是与面积成正比）。同一深度处压强相等。

技巧4：质心公式的记忆

"质心 = 力矩总量 ÷ 质量总量"

$\bar{x} = \frac{\int x\,dm}{\int dm}$，分子是"质量对原点的力矩"，分母是"总质量"。

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四、例题与精解

例1（基础——变力做功）

命题意图：考查变力做功的定积分计算。

题目：一弹簧的弹性系数为 $k$，将其从自然长度压缩 $0.1\,\text{m}$，求外力所做的功。

审题分析：弹簧遵循胡克定律 $F = kx$，力随位移变化，需用定积分。

解题思路：外力与弹簧恢复力大小相等方向相反，$F_{\text{外}} = kx$，从 $x=0$ 到 $x=0.1$ 积分。

完整步骤：

$W = \int_0^{0.1} kx\,dx = k \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^{0.1} = k \cdot \frac{(0.1)^2}{2} = \frac{0.01k}{2} = 0.005k \,(\text{J})$

方法反思：变力做功的关键是正确写出力 $F(x)$ 的表达式。弹簧的力与位移成正比，是最简单的变力做功问题。注意外力方向与位移方向一致时功为正。

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例2（中等——液体侧压力）

命题意图：考查液体侧压力的计算。

题目：一个等腰三角形薄板，底边长 $4\,\text{m}$，高 $3\,\text{m}$，底边朝上水平放置，顶点朝下，薄板顶点恰好在水面处。求薄板一侧所受的水压力。（水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$，$g = 10\,\text{m/s}^2$）

审题分析：薄板顶点在水面（深度 $0$），底边在深度 $3\,\text{m}$ 处。需要确定每个深度处薄板的宽度。

解题思路：以深度 $y$ 为积分变量，确定宽度 $x(y)$，用压力公式积分。

完整步骤：

第一步：确定宽度函数

建立坐标系：以顶点为原点，$y$ 轴向下（深度方向）。

在深度 $y$ 处，由相似三角形，薄板宽度为

$x(y) = \frac{4}{3}y$

（底边 $4\,\text{m}$ 对应 $y = 3\,\text{m}$，线性关系。）

第二步：计算压力

$F = \int_0^3 \rho g y \cdot x(y)\,dy = \int_0^3 1000 \times 10 \times y \times \frac{4}{3}y\,dy$

$= \frac{40000}{3}\int_0^3 y^2\,dy = \frac{40000}{3} \cdot \frac{y^3}{3}\Big|_0^3 = \frac{40000}{3} \cdot \frac{27}{3} = \frac{40000}{3} \cdot 9 = 120000\,\text{N}$

即 $F = 1.2 \times 10^5\,\text{N}$。

方法反思：液体压力计算的关键步骤：①建立坐标系（深度方向）；②确定深度 $y$ 处的宽度 $x(y)$；③代入公式积分。注意压强中的 $y$ 是深度（从液面算起），不是一般的坐标。

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五、考情分析

• 考查频次：功、引力、压力、质心在近5年真题中出现约 2-4次。
• 常见题型：解答题（抽水做功、液体压力，通常10分左右）。
• 分值占比：解答题10分左右。
• 命题趋势：这类物理应用题不每年出现，但一旦出现通常是完整的解答题。抽水做功和液体压力是最常见的两种题型。近年趋势是将物理应用与微分方程结合。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：抽水做功中提升高度计算错误

• 错误表现：将水的微元提升高度写成 $y$（深度），而实际应为"水面高度减去该层水的深度"。
• 错误原因：抽水做功是将水从容器内提升到容器外。若容器顶部与水面齐平，则深度 $y$ 处的水需要提升的高度就是 $y$；若容器顶部低于水面，则需具体分析。
• 正确做法：画图确定每层水需要提升的准确高度。

易错点2：液体压力中将 $y$ 当作坐标而非深度

• 错误表现：将坐标原点设在液面下方某处，直接用 $y$ 代替深度。
• 错误原因：压强公式 $p = \rho gh$ 中的 $h$ 是深度（从液面算起的垂直距离），不是任意的坐标值。
• 正确做法：确保 $y$ 表示从液面向下的深度，或在公式中正确转换。

易错点3：引力问题中忘记引力的方向性

• 错误表现：将引力当作标量直接积分。
• 错误原因：引力是矢量，不同微元对质点的引力方向不同。若各微元在同一直线上（如一维情形），可以直接积分；若不在同一直线上，需对各分量分别积分。
• 正确做法：一维问题直接积分；二维或三维问题需分解为分量分别积分。

易错点4：质心公式中分子分母搞混

• 错误表现：将 $\bar{x} = \frac{\int x\,dm}{\int dm}$ 错写为 $\bar{x} = \frac{\int dm}{\int x\,dm}$。
• 错误原因：质心是"力矩 ÷ 质量"，分子含 $x$，分母不含 $x$。
• 正确做法：牢记"质心 = 力矩总量 ÷ 质量总量"。

易错点5：Pappus 定理中形心到旋转轴的距离

• 错误表现：将 $\bar{x}$ 理解为形心的 $x$ 坐标，而非形心到旋转轴的距离。
• 错误原因：Pappus 定理中的距离是形心到旋转轴的垂直距离。若绕 $y$ 轴旋转，则距离是形心的 $x$ 坐标；若绕 $x$ 轴旋转，则距离是形心的 $y$ 坐标。
• 正确做法：明确旋转轴，取形心到该轴的垂直距离。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学·定积分应用）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了定积分在物理中的典型应用，核心方法是微元法——将物理量的微小增量表示为被积函数乘以微分，再积分求总量。