数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-17：函数的凹凸性与拐点

---

一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：导数的定义与二阶导数的概念（MATH-CAL-09、MATH-CAL-12）、函数的单调性（MATH-CAL-16）。凹凸性通过二阶导数的符号判断，是单调性（一阶导数）的自然延伸。
• 知识网络定位：凹凸性与拐点是函数图形描绘的重要组成部分，上承二阶导数与单调性，下启曲线的渐近线和函数图形的完整描绘。在优化理论中也有应用。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。单独出题频率适中，但作为函数图形描绘的必经步骤常出现在综合题中。

---

二、知识点讲解

2.1 凹凸性的定义

定义（几何直观）：

• 凹函数（上凸）：曲线位于其任意两点连线（弦）的下方。即对任意 $x_1, x_2$ 和 $\lambda \in (0, 1)$：

$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$

• 凸函数（下凸）：曲线位于其任意两点连线（弦）的上方。即：

$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$

直观理解：

• 凹函数：像一个"碗口朝下"的形状，如 $y = -x^2$
• 凸函数：像一个"碗口朝上"的形状，如 $y = x^2$

注意：不同教材对凹凸的定义可能相反。以考试大纲和所用教材的定义为准。本文采用"上凹下凸"的定义（即二阶导数大于零为凹/下凸，二阶导数小于零为凸/上凹）。

2.2 凹凸性的判定定理

定理：设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导。

1. 若在 $I$ 上 $f''(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹的（下凸）。
2. 若在 $I$ 上 $f''(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的（上凸）。

证明思路：设 $f''(x) > 0$，对任意 $x_1 < x_2$，令 $x_0 = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$。由泰勒公式：

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2$

由 $f''(\xi) > 0$，得 $f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$（等号仅在 $x = x_0$ 时成立）。分别令 $x = x_1$ 和 $x = x_2$，加权相加即可证凹性。

2.3 拐点的定义与判定

定义：连续曲线 $y = f(x)$ 上凹凸性发生改变的点 $(x_0, f(x_0))$ 称为拐点。

拐点的必要条件：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导且 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点，则 $f''(x_0) = 0$。

拐点的充分条件：

方法一（二阶导数变号法）：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内二阶可导。若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。

方法二（三阶导数法）：若 $f''(x_0) = 0$ 且 $f'''(x_0) \neq 0$，则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。

2.4 凹凸性与极值的对比

概念	依据	判定条件	几何意义
极值	一阶导数 $f'(x)$	$f'(x)$ 变号或 $f'(x_0)=0, f''(x_0)\neq 0$	切线水平处的高低点
拐点	二阶导数 $f''(x)$	$f''(x)$ 变号或 $f''(x_0)=0, f'''(x_0)\neq 0$	凹凸性改变处

---

三、记忆与理解辅助

技巧1：凹凸性的"碗口"记忆法

• $f''(x) > 0$：碗口朝上（凹/下凸），能"盛水"
• $f''(x) < 0$：碗口朝下（凸/上凹），水会"洒出"

技巧2：拐点判定的"三步法"

1. 求 $f''(x)$
2. 令 $f''(x) = 0$，解出 $x_0$
3. 检查 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧是否变号（或验证 $f'''(x_0) \neq 0$）

技巧3：极值与拐点的对比记忆

对比项	极值	拐点
判定依据	$f'(x)$ 的符号变化	$f''(x)$ 的符号变化
必要条件	$f'(x_0) = 0$	$f''(x_0) = 0$
研究对象	$y$ 值的大小	$y$ 的弯曲方向
横坐标确定	$f'(x) = 0$ 的解	$f''(x) = 0$ 的解

---

四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查凹凸区间和拐点的求法。

题目：求 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$ 的凹凸区间和拐点。

审题分析：需要求 $f''(x)$，令 $f''(x)=0$ 找候选拐点，再判断凹凸性变化。

解题思路：求二阶导数 → 令 $f''(x)=0$ → 列符号表 → 确定凹凸区间和拐点。

完整步骤：

第一步：求导

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$

$f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2$

第二步：令 $f''(x) = 0$

$12(x-1)^2 = 0$，得 $x = 1$。

第三步：判断凹凸性变化

$f''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0$，对所有 $x$ 都成立，且仅在 $x=1$ 时 $f''(x)=0$。

$f''(x)$ 在 $x=1$ 两侧不变号（始终 $\geq 0$），所以 $x=1$ 处不是拐点。

结论：$f(x)$ 在整个 $(-\infty, +\infty)$ 上是凹的（$f''(x) \geq 0$），没有拐点。

方法反思：$f''(x_0) = 0$ 只是拐点的必要条件而非充分条件，必须验证 $f''(x)$ 在该点两侧是否变号。

例题2（中等提升）

命题意图：考查含参数的拐点问题。

题目：已知点 $(1, 3)$ 是曲线 $y = ax^3 + bx^2$ 的拐点，求 $a$、$b$ 的值。

审题分析：$(1, 3)$ 在曲线上，且是拐点，需要同时满足函数值条件和拐点条件。

解题思路：利用"点在曲线上"和"拐点处 $f''(1) = 0$"列方程组。

完整步骤：

第一步：利用点在曲线上

$3 = a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 = a + b \quad \cdots (1)$

第二步：求二阶导数

$y' = 3ax^2 + 2bx$

$y'' = 6ax + 2b$

第三步：利用拐点条件 $f''(1) = 0$

$6a \cdot 1 + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 6a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = 0 \quad \cdots (2)$

第四步：解方程组

由 (1)：$a + b = 3$

由 (2)：$3a + b = 0$

两式相减：$-2a = 3$，$a = -\frac{3}{2}$

代入 (1)：$b = 3 - a = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

第五步：验证 $x=1$ 确实是拐点

$f''(x) = 6 \cdot (-\frac{3}{2})x + 2 \cdot \frac{9}{2} = -9x + 9 = -9(x-1)$

$x < 1$ 时 $f''(x) > 0$（凹），$x > 1$ 时 $f''(x) < 0$（凸），凹凸性改变 ✓

结论：$a = -\dfrac{3}{2}$，$b = \dfrac{9}{2}$。

方法反思：拐点问题的解题套路为：①点在曲线上（函数值条件）；②$f''(x_0)=0$（拐点必要条件）；③验证变号（充分条件）。通常只需前两步即可确定参数，第三步作为验证。

---

五、考情分析

• 考查频次：近5年出现约3–4次，属于中频考点。
• 常见题型：选择题（判断拐点）、填空题（求凹凸区间）、解答题（函数图形描绘中的一步）。
• 分值占比：直接考查约3–5分。
• 命题趋势：近年来倾向于将凹凸性与极值结合考查，或在函数图形描绘题中作为必考步骤。基于大纲与命题规律推测。

---

六、易错点提醒

易错点1

• 错误表现：将 $f''(x_0) = 0$ 直接当作拐点的充分条件。
• 错误原因：$f''(x_0) = 0$ 只是拐点的必要条件，还需验证 $f''(x)$ 在该点两侧是否变号。
• 正确做法：必须检查 $f''(x)$ 的变号情况。反例：$f(x) = x^4$，$f''(0) = 0$ 但 $x=0$ 不是拐点。

易错点2

• 错误表现：混淆凹凸的定义方向。
• 错误原因：不同教材对"凹"和"凸"的定义可能相反。
• 正确做法：以考试大纲为准。一般 $f''(x) > 0$ 为凹（下凸），$f''(x) < 0$ 为凸（上凹）。

易错点3

• 错误表现：只关注 $f''(x) = 0$ 的点，忽略 $f''(x)$ 不存在的点。
• 错误原因：拐点也可能出现在二阶导数不存在的点（如 $f(x) = x^{1/3}$ 在 $x=0$ 处）。
• 正确做法：候选拐点包括 $f''(x) = 0$ 的点和 $f''(x)$ 不存在的点。

---

七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数微分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）