数学一

高等数学

二阶常系数齐次线性微分方程

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一、定位信息

项目	内容
编号	MATH-CAL-55
章节	第八章 · 常微分方程 · 第4单元
知识层级	核心重点
考试频率	★★★★★（必考，选择/填空/解答均可能出现）
关联单元	MATH-CAL-54（可降阶方程）、MATH-CAL-56（非齐次方程）

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二、知识点讲解

2.1 二阶线性微分方程的一般理论

二阶线性微分方程的一般形式为：

$y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f(x)$

• $f(x) \equiv 0$ 时为齐次的
• $f(x) \not\equiv 0$ 时为非齐次的

定理1（叠加原理）：若 $y_1(x)$、$y_2(x)$ 是齐次方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 的两个解，则 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$ 也是该方程的解（$C_1$、$C_2$ 为任意常数）。

定理2（通解结构）：若 $y_1$、$y_2$ 是齐次方程的两个线性无关的解（即 $\dfrac{y_1}{y_2} \neq \text{const}$），则齐次方程的通解为 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$。

线性无关的判定：$y_1$ 与 $y_2$ 线性无关 $\iff$ 朗斯基行列式

$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1' \neq 0$

2.2 二阶常系数齐次线性方程

标准形式：

$\boxed{y'' + py' + qy = 0}$

其中 $p$、$q$ 为常数。

求解方法（特征方程法）：

设 $y = e^{rx}$（$r$ 为待定常数），代入方程：

$r^2 e^{rx} + pr\,e^{rx} + q\,e^{rx} = 0$

因为 $e^{rx} \neq 0$，约去得特征方程：

$\boxed{r^2 + pr + q = 0}$

特征方程的判别式 $\Delta = p^2 - 4q$。

三种情况：

情况一：$\Delta > 0$，两个不等实根 $r_1 \neq r_2$

$r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

通解为：

$\boxed{y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}}$

情况二：$\Delta = 0$，两个相等实根 $r_1 = r_2 = r = -\dfrac{p}{2}$

一个解为 $y_1 = e^{rx}$。由降阶法求第二个线性无关解：设 $y_2 = u(x)e^{rx}$，代入方程得 $u'' = 0$，取 $u = x$，故 $y_2 = xe^{rx}$。

通解为：

$\boxed{y = (C_1 + C_2 x)\,e^{rx}}$

情况三：$\Delta < 0$，一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm \beta i$

其中 $\alpha = -\dfrac{p}{2}$，$\beta = \dfrac{\sqrt{4q - p^2}}{2}$。

两个实值线性无关解为：

$y_1 = e^{\alpha x}\cos\beta x, \quad y_2 = e^{\alpha x}\sin\beta x$

通解为：

$\boxed{y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)}$

推导：由欧拉公式 $e^{(\alpha+\beta i)x} = e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)$，取实部和虚部即得两个线性无关的实值解。

2.3 三种情况的对比总结

判别式	特征根	通解形式
$\Delta > 0$	$r_1 \neq r_2$（实根）	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
$\Delta = 0$	$r_1 = r_2 = r$（重根）	$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
$\Delta < 0$	$r = \alpha \pm \beta i$（复根）	$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

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三、记忆辅助

1. 特征方程口诀"系数照搬变 $r$"：$y'' + py' + qy = 0$ 的特征方程直接把 $y''$ 换成 $r^2$，$y'$ 换成 $r$，$y$ 换成 $1$：$r^2 + pr + q = 0$。

2. 通解形式口诀：

   • 两不等实根：两个指数 $e^{r_1 x} + e^{r_2 x}$
   • 重根：指数乘多项式 $(C_1 + C_2 x)e^{rx}$
   • 复根：指数乘三角 $e^{\alpha x}(\cos + \sin)$

3. 重根记忆技巧：重根时通解中的 $x$ 来自"升阶"——每多一个重根，多项式次数加一。二阶重根对应一次多项式 $C_1 + C_2 x$。

4. 复根的 $\alpha$ 和 $\beta$：$\alpha$ 是实部（决定衰减/增长），$\beta$ 是虚部（决定振荡频率）。

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四、例题精解

例题1：两不等实根

题目：求微分方程 $y'' - 5y' + 6y = 0$ 的通解。

第一步：写出特征方程

$r^2 - 5r + 6 = 0$

第二步：求特征根

$(r - 2)(r - 3) = 0$，$r_1 = 2$，$r_2 = 3$。

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$，两个不等实根。

第三步：写出通解

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

第四步：验证

$y_1 = e^{2x}$：$y_1' = 2e^{2x}$，$y_1'' = 4e^{2x}$。$4e^{2x} - 10e^{2x} + 6e^{2x} = 0$。✓

$y_2 = e^{3x}$：$y_2' = 3e^{3x}$，$y_2'' = 9e^{3x}$。$9e^{3x} - 15e^{3x} + 6e^{3x} = 0$。✓

$\boxed{y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}}$

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例题2：共轭复根

题目：求微分方程 $y'' + 2y' + 5y = 0$ 满足 $y(0) = 1$，$y'(0) = -1$ 的特解。

第一步：写出特征方程

$r^2 + 2r + 5 = 0$

第二步：求特征根

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

$\alpha = -1$，$\beta = 2$。

第三步：写出通解

$y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$

第四步：利用初始条件求特解

$y(0) = 1$：$e^0(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = C_1 = 1$。

$y' = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$

$y'(0) = -1$：$-(C_1) + 2C_2 = -1$，即 $-1 + 2C_2 = -1$，$C_2 = 0$。

特解为：

$\boxed{y = e^{-x}\cos 2x}$

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五、考情分析

考查维度	说明
题型分布	填空题（直接求通解）、选择题（判断特征根类型）、解答题（结合初始条件求特解）
分值	4-8分
难度	★★☆ 至 ★★★
命题趋势	基本功考查，几乎每年都有；常与非齐次方程（MATH-CAL-56）结合出现；有时作为应用题建模后的求解步骤
核心要求	特征方程法必须烂熟于心，三种情况的通解形式要能直接写出

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六、易错点

1. 重根时漏乘 $x$：$\Delta = 0$ 时，通解为 $(C_1 + C_2 x)e^{rx}$，不是 $C_1 e^{rx} + C_2 e^{rx}$（后者线性相关，只有一个独立常数）。

2. 复根时 $\alpha$ 和 $\beta$ 的符号：$r = \alpha \pm \beta i$ 中，$\alpha = -\dfrac{p}{2}$（注意负号），$\beta = \dfrac{\sqrt{4q - p^2}}{2}$（恒正）。常见错误是把 $\alpha$ 的符号搞反。

3. 特征方程列错：方程必须先化为标准形式 $y'' + py' + qy = 0$。例如 $2y'' + 3y' - y = 0$ 的特征方程是 $2r^2 + 3r - 1 = 0$，不是 $r^2 + 3r - 1 = 0$。

4. 初始条件代入时计算错误：复根情况下 $y'$ 的表达式较复杂，包含 $e^{\alpha x}$、$\cos\beta x$、$\sin\beta x$ 的乘积，求导时要用乘法法则，容易漏项。

5. 混淆齐次与非齐次：本单元只处理 $y'' + py' + qy = 0$（右端为零），非齐次方程 $y'' + py' + qy = f(x)$ 见 MATH-CAL-56。

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七、来源标注

来源	说明
教材	同济大学《高等数学》第七版 第七章 §7.7
考试大纲	2025年全国硕士研究生入学考试数学一考试大纲 · 高等数学 · 二阶常系数线性微分方程
补充	朗斯基行列式判定线性无关性为理论基础，大纲要求理解