数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-34：偏导数与全微分

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：多元函数的极限与连续（MATH-CAL-33）、一元函数导数的定义与计算。偏导数本质上是对某一变量求导，其余变量视为常数。
• 知识网络定位：本单元是多元微分学的核心基础，上承多元函数极限，下启方向导数、梯度、复合函数求导、隐函数求导等。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。偏导数计算是基本功，全微分的概念和判定是常考点。

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二、知识点讲解

2.1 偏导数的定义

设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义。固定 $y = y_0$，若一元函数 $f(x, y_0)$ 在 $x_0$ 处可导，则称此导数为 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为：

$f_x(x_0, y_0) = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

类似地定义 $f_y(x_0, y_0)$。

计算方法：求 $f_x$ 时，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。求 $f_y$ 时同理。

2.2 偏导数的几何意义

$f_x(x_0, y_0)$ 是曲面 $z = f(x,y)$ 与平面 $y = y_0$ 的交线在点 $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ 处的切线斜率。$f_y$ 类似。

2.3 高阶偏导数

二阶偏导数有四种：

$f_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$

克莱罗定理：若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内都连续，则 $f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0)$。

即：混合偏导数连续时与求导顺序无关。

2.4 全微分的定义

若 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的全增量可表示为：

$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

其中 $A, B$ 是与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的常数，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，$A\Delta x + B\Delta y$ 为全微分，记为：

$dz = A\,dx + B\,dy = f_x(x_0,y_0)\,dx + f_y(x_0,y_0)\,dy$

可微的必要条件：若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f_x$ 和 $f_y$ 都存在，且 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$。

可微的充分条件：若 $f_x$ 和 $f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内都连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

2.5 多元函数可微性判定流程

要判断 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 是否可微，按以下步骤：

1. 先求偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$。若任一不存在 → 不可微。
2. 验证偏导数连续性：若 $f_x, f_y$ 在该点连续 → 可微。
3. 若偏导数不连续或不确定：用定义验证，即检查

$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \stackrel{?}{=} 0$

2.6 偏导数、连续、可微关系对比

性质	能否推出其他性质
可微	→ 偏导数存在，→ 连续
偏导数连续	→ 可微
偏导数存在	↛ 连续，↛ 可微
连续	↛ 偏导数存在，↛ 可微

结论链：偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在，且可微 $\Rightarrow$ 连续。但反向箭头都不成立。

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三、记忆与理解辅助

1. 偏导数计算口诀："对谁求导谁是变量，其余全当常数看"。例如 $z = x^2 y + \sin(xy)$，$z_x = 2xy + y\cos(xy)$（$y$ 当常数）。

2. 可微的几何直观：可微意味着曲面在该点附近可以用切平面近似。不可微意味着曲面在该点有"尖角"或"褶皱"。

3. 全微分形式不变性：无论 $x, y$ 是自变量还是中间变量，$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ 的形式不变。这个性质在复合函数求导中非常有用。

4. 记忆关系链：

偏导数连续 ⟹ 可微 ⟹ 连续
                ⟹ 偏导数存在

箭头不可反向！

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四、例题与精解

例题 1（基础巩固）

命题意图：考查偏导数和全微分的计算。

设 $z = x^3 y + xy^2 + e^{xy}$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$dz$，以及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

审题分析：直接按定义求偏导，再组合成全微分。

解题思路：对 $x$ 求导时 $y$ 当常数，对 $y$ 求导时 $x$ 当常数。

完整步骤：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + y^2 + ye^{xy}$（逐项求导：$x^3y$ 对 $x$ 得 $3x^2y$；$xy^2$ 对 $x$ 得 $y^2$；$e^{xy}$ 对 $x$ 得 $ye^{xy}$）

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + 2xy + xe^{xy}$（逐项求导：$x^3y$ 对 $y$ 得 $x^3$；$xy^2$ 对 $y$ 得 $2xy$；$e^{xy}$ 对 $y$ 得 $xe^{xy}$）

全微分：

$dz = (3x^2 y + y^2 + ye^{xy})\,dx + (x^3 + 2xy + xe^{xy})\,dy$

混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$：对 $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + y^2 + ye^{xy}$ 再对 $y$ 求导：

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 3x^2 + 2y + e^{xy} + xye^{xy}$

（注意：$ye^{xy}$ 对 $y$ 求导用乘积法则：$e^{xy} + y \cdot xe^{xy} = e^{xy}(1+xy)$）

方法反思：偏导数计算关键是正确运用一元求导法则（乘积法则、链式法则），将其他变量视为常数。

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例题 2（中等提升）

命题意图：考查可微性的判定，区分偏导数存在与可微的关系。

讨论函数

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

在 $(0,0)$ 处的偏导数存在性和可微性。

审题分析：需要分别验证偏导数是否存在，以及全微分定义中的极限是否为零。

解题思路：先用定义求偏导数，再用可微的定义验证。

完整步骤：

（1）求 $f_x(0,0)$：

$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\Delta x \cdot 0}{\sqrt{(\Delta x)^2+0}} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0$

同理 $f_y(0,0) = 0$。两个偏导数都存在。

（2）验证可微性：

检查 $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$ 是否为零。

即检查 $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$：

$\frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = \frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = \frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

沿路径 $\Delta y = \Delta x$：$\frac{(\Delta x)^2}{2(\Delta x)^2} = \frac{1}{2} \neq 0$

该极限不为零，因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

结论：$f$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在但不可微。

方法反思：这是一个经典的"偏导数存在但不可微"的例子。关键在于可微要求全增量与线性近似的差是 $\rho$ 的高阶无穷小，而不仅仅是偏导数存在。

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五、考情分析

• 考查频次：近五年几乎每年都有涉及偏导数和全微分的题目。
• 常见题型：选择题（可微性判定、关系链辨析）、填空题（求偏导数或全微分）、解答题（作为复合函数求导的前置步骤）。
• 分值占比：约 4–8 分。
• 命题趋势：可微性判定常与极限、连续性结合出选择题；偏导数计算融入各类综合题。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：认为"偏导数存在 → 可微"。

   • 错误原因：受一元函数"可导 ↔ 可微"的影响。
   • 正确理解/做法：多元函数中偏导数存在只是可微的必要条件，不是充分条件。需要偏导数连续才能保证可微。

2. 错误表现：求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 时，先对 $x$ 求导还是先对 $y$ 求导搞混。

   • 错误原因：记号 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 的含义是"先对 $x$ 后对 $y$"（从右往左读）。
   • 正确理解/做法：$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$，即先求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，再对 $y$ 求导。混合偏导数连续时顺序可交换。

3. 错误表现：计算全微分时，漏掉某一项的偏导数。

   • 错误原因：对多元函数的各项逐一求导时遗漏。
   • 正确理解/做法：$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$，$f_x$ 和 $f_y$ 都必须完整计算每一项的偏导数。

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七、来源标注

• 依据 2026 考研数学一大纲"多元函数微分学"部分
• 依据大学本科经典教材《高等数学》（同济大学第七版）第九章