MATH-PRO-22 矩与协方差矩阵

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第四章 随机变量的数字特征
知识单元编号	MATH-PRO-22
前置知识	MATH-PRO-19~21
后续关联	MATH-PRO-23（大数定律）、MATH-PRO-28（矩估计）
考试地位	矩估计法的基础，了解为主
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 矩的定义

$k$ 阶原点矩：$\mu_k = E(X^k)$，$k = 1, 2, \ldots$

• $k=1$：$\mu_1 = E(X)$（期望）

$k$ 阶中心矩：$\nu_k = E[(X - E(X))^k]$，$k = 1, 2, \ldots$

• $k=1$：$\nu_1 = 0$
• $k=2$：$\nu_2 = D(X)$（方差）

2. 矩的计算

原点矩与中心矩的关系：

$\nu_2 = \mu_2 - \mu_1^2$$\nu_3 = \mu_3 - 3\mu_1\mu_2 + 2\mu_1^3$

3. 协方差矩阵

设 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T$ 为 $n$ 维随机向量，$E(\mathbf{X}) = \boldsymbol{\mu}$。

协方差矩阵：

$\mathbf{C} = E[(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T] = \begin{pmatrix} D(X_1) & \text{Cov}(X_1,X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_1,X_n) \\ \text{Cov}(X_2,X_1) & D(X_2) & \cdots & \text{Cov}(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \text{Cov}(X_n,X_1) & \text{Cov}(X_n,X_2) & \cdots & D(X_n) \end{pmatrix}$

性质：

• 对称矩阵：$c_{ij} = c_{ji}$
• 半正定：对任意 $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{a}^T\mathbf{C}\mathbf{a} \geq 0$
• 对角线元素为方差：$c_{ii} = D(X_i)$

4. 二维正态的协方差矩阵

$(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}$

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三、记忆辅助

1. 原点矩：$E(X^k)$——"原点"即0阶，$k$ 次方的期望。
2. 中心矩：$E[(X-\mu)^k]$——以期望为中心，$k$ 次方的期望。
3. 方差 = 二阶中心矩，期望 = 一阶原点矩。
4. 协方差矩阵：对角线是方差，非对角线是协方差，对称半正定。

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四、例题精解

【例题1】求矩

题目：设 $X \sim E(\lambda)$，求 $E(X)$、$E(X^2)$、$D(X)$。

解答：

第一步：写出密度

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，$x > 0$。

第二步：求一阶原点矩（期望）

$E(X) = \int_0^{+\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda}$

第三步：求二阶原点矩

$E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac{2}{\lambda^2}$

（利用 $\int_0^{+\infty} x^n \lambda e^{-\lambda x}dx = \frac{n!}{\lambda^n}$）

第四步：求方差

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$

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【例题2】协方差矩阵

题目：设 $X_1 \sim N(0,1)$，$X_2 \sim N(0,4)$，$\text{Cov}(X_1,X_2) = 1$。求 $(X_1,X_2)$ 的协方差矩阵。

解答：

第一步：确定对角线元素

$D(X_1) = 1$，$D(X_2) = 4$。

第二步：确定非对角线元素

$\text{Cov}(X_1,X_2) = 1$，$\text{Cov}(X_2,X_1) = 1$。

第三步：写出协方差矩阵

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

第四步：验证半正定性

$\det(\mathbf{C}) = 1\times4 - 1\times1 = 3 > 0$，$c_{11} = 1 > 0$，故 $\mathbf{C}$ 正定（从而半正定）✓。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
中频	填空题	求矩（原点矩、中心矩）	4分
低频	计算	协方差矩阵的构造	4分
重要	应用	矩估计法的基础（后续章节）	—

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六、易错点

1. 原点矩vs中心矩：$E(X^k)$ 是原点矩，$E[(X-\mu)^k]$ 是中心矩，不要混淆。
2. 方差 = 二阶中心矩：$\nu_2 = D(X) = E[(X-\mu)^2]$，不是 $E(X^2)$。
3. 协方差矩阵的半正定性：这是判断协方差矩阵是否合法的重要条件。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第4章 §4.4
大纲	考研数学一大纲"矩、协方差矩阵"