数学一

线性代数

矩阵的秩

定位信息

• 章节：第二章 矩阵 §2.5
• 编号：MATH-LIN-07
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：核心概念，每年必考

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一、知识点讲解

7.1 秩的定义

k阶子式：在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列（$k \le \min(m,n)$），交叉处的 $k^2$ 个元素按原顺序排列所成的 $k$ 阶行列式。

矩阵的秩：$A$ 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记 $r(A)$。

• $r(A) = 0 \Leftrightarrow A = O$
• $r(A_{m \times n}) \le \min(m, n)$
• $r(A) = r(A^T)$

7.2 秩的计算方法

方法一：子式法（定义法） 从最高阶子式开始，逐步降低阶数，找到第一个非零子式的阶数。

方法二：初等行变换法（最常用） 将 $A$ 通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行的个数即为秩。

行阶梯形：每个非零行的第一个非零元素（主元）所在列，逐行向右移动。

行最简形：在行阶梯形基础上，主元为1，主元所在列的其他元素全为0。

7.3 秩的重要公式与定理

公式/定理	内容
初等变换不改变秩	$r(PAQ) = r(A)$（$P,Q$ 可逆）
乘积的秩	$r(AB) \le \min(r(A), r(B))$
和的秩	$r(A+B) \le r(A) + r(B)$
Sylvester不等式	$r(AB) \ge r(A) + r(B) - n$（$A$ 为 $m \times n$，$B$ 为 $n \times s$）
$r(A) = r(A^TA) = r(AA^T)$	对任意实矩阵 $A$ 成立
$r(A) = n \Leftrightarrow	A

7.4 秩与线性方程组的关系

对 $A_{m \times n}$，$b \in \mathbb{R}^m$：

• $Ax = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow r(A) < n$
• $Ax = b$ 有解 $\Leftrightarrow r(A) = r(A|b)$
• $Ax = b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A) = r(A|b) = n$
• $Ax = b$ 有无穷多解 $\Leftrightarrow r(A) = r(A|b) < n$

7.5 矩阵等价与秩

$A \cong B$（等价）$\Leftrightarrow r(A) = r(B)$（对同型矩阵）

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二、记忆辅助

1. 秩的定义："不为零的子式的最高阶数" —— 简记为"最大非零阶"
2. Sylvester不等式：$r(AB) \ge r(A) + r(B) - n$ —— 记忆"乘积的秩不小于秩之和减内维"，下界为 $r(A)+r(B)-n$
3. 方程组有解条件：$r(A) = r(A|b)$ —— "系数矩阵秩 = 增广矩阵秩" 就是有解，差1就是无解
4. 初等变换保秩：秩是初等变换下的不变量，所以行阶梯形的非零行数 = 秩

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三、例题精解

例1：求矩阵的秩

题目：求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 4 & 7 & 9 \ 3 & 6 & 10 & 13 \end{pmatrix}$ 的秩。

第一步：审题与分析$3 \times 4$ 矩阵，$r(A) \le 3$。用初等行变换化为行阶梯形。

第二步：选择方法 初等行变换法。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 9 \\ 3 & 6 & 10 & 13 \end{pmatrix}$

$r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$r_3 - r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

非零行有2行，所以 $r(A) = 2$。

第四步：验证与总结$\boxed{r(A) = 2}$。注意第1列和第2列成比例（$c_2 = 2c_1$），这导致秩不会满。

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例2：秩的公式应用

题目：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $A^2 = E$，证明 $r(A+E) + r(A-E) = n$。

第一步：审题与分析$A^2 = E$ 即 $(A+E)(A-E) = O$（注意矩阵不满足消去律，不能由此推出 $A = E$ 或 $A = -E$）。

第二步：选择方法 利用 $AB = O$ 时的秩的关系：$r(A) + r(B) \le n$（$A$ 为 $m \times n$，$B$ 为 $n \times s$ 时）。

第三步：完整计算

由 $(A+E)(A-E) = O$，根据乘积秩的不等式：

$r(A+E) + r(A-E) \le n \quad \cdots (1)$

又由 $r(A+B) \le r(A) + r(B)$：

$(A+E) + (E-A) = 2E$

$r(2E) \le r(A+E) + r(E-A)$

$n = r(2E) \le r(A+E) + r(A-E) \quad \cdots (2)$

（注：$r(E-A) = r(A-E)$）

由 $(1)$ 和 $(2)$：$r(A+E) + r(A-E) = n$。

第四步：验证与总结$\boxed{r(A+E) + r(A-E) = n}$。核心技巧：利用 $AB = O \Rightarrow r(A)+r(B) \le n$ 和 $r(A+B) \le r(A)+r(B)$ 两面夹击。

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（秩的判断、秩与方程组关系）、填空题（求秩）、证明题（秩的等式/不等式）
• 考查重点：秩的计算、秩与方程组解的关系、秩的不等式证明
• 命题趋势：秩的等式/不等式证明是近年来的高频解答题
• 分值占比：约5-8分

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五、易错点

1. $r(AB) \le \min(r(A), r(B))$：乘积的秩不超过任一因子的秩，但可以严格小于。$AB = O$ 时 $r(AB) = 0$
2. $r(A+B) \le r(A) + r(B)$：和的秩不超过秩之和，但不能用 $r(A-B) \ge r(A) - r(B)$（这个不等式方向不对）
3. 行阶梯形的定义：主元必须逐行右移，如果某行全为零则跳过，不能因为某列全为零就认为主元在下一列
4. $r(A) = 0$ 仅当 $A = O$：不要忘记零矩阵的秩为0，不是未定义

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第2章 §2.5-§2.6
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第2章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第4讲