数学一

线性代数

齐次线性方程组：基础解系与通解

定位信息

• 章节：第四章 线性方程组 §4.2
• 编号：MATH-LIN-15
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：核心高频考点，每年必考

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一、知识点讲解

15.1 齐次方程组的基本形式

$Ax = 0$，其中 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$x = (x_1, \ldots, x_n)^T$。

解的情况：

• 只有零解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = n$（满列秩）
• 有非零解 $\Leftrightarrow$ $r(A) < n$

15.2 解空间

齐次方程组 $Ax = 0$ 的全体解构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，称为解空间。

$\dim(\text{解空间}) = n - r(A)$（自由变量的个数）

15.3 基础解系

定义：$Ax = 0$ 的解空间的一组基称为基础解系。

若 $r(A) = r < n$，则基础解系包含 $n - r$ 个线性无关的解向量 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$。

通解：

$x = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r}, \quad c_1, \ldots, c_{n-r} \in \mathbb{R}$

15.4 求基础解系的方法

1. 对 $A$ 做初等行变换化为行最简形
2. 确定主元列（$r$ 个）和自由列（$n-r$ 个）
3. 令每个自由变量依次取1（其余自由变量取0），回代求出主元变量
4. 得到 $n-r$ 个解向量，即为基础解系

15.5 基础解系的判定

$\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}$ 是 $Ax = 0$ 的基础解系 $\Leftrightarrow$ 同时满足：

1. 每个 $\xi_i$ 都是 $Ax = 0$ 的解
2. $\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}$ 线性无关
3. 个数 $= n - r(A)$

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二、记忆辅助

1. 基础解系的个数：$n - r(A)$ —— "未知数个数减秩" = 自由变量个数
2. 通解 = 基础解系的线性组合：$x = c_1\xi_1 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r}$，系数 $c_i$ 为任意常数
3. 求法口诀："行最简形找自由变量，逐个赋1回代求解"

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三、例题精解

例1：求基础解系与通解

题目：求齐次方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0 \ 2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \ 3x_1 + 2x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 0 \end{cases}$ 的基础解系与通解。

第一步：审题与分析$3 \times 4$ 系数矩阵，$r(A) \le 3 < 4 = n$，必有非零解。

第二步：选择方法 行变换化为行最简形。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1$：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

$r_3 - r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r_2 \times (-1)$：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r_1 - r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r = 2$，$n - r = 2$，自由变量为 $x_3, x_4$。

令 $x_3 = 1, x_4 = 0$：$x_1 = -2, x_2 = 3$，得 $\xi_1 = (-2, 3, 1, 0)^T$

令 $x_3 = 0, x_4 = 1$：$x_1 = -2, x_2 = 3$，得 $\xi_2 = (-2, 3, 0, 1)^T$

不对，重新算：从行最简形 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \ 0 & 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$：

令 $x_3=1, x_4=0$：$x_1 = -2, x_2 = 3$，$\xi_1 = (-2,3,1,0)^T$ ✓ 令 $x_3=0, x_4=1$：$x_1 = -2, x_2 = 3$，$\xi_2 = (-2,3,0,1)^T$ ✓

第四步：验证与总结$\boxed{\text{基础解系：}\xi_1 = (-2,3,1,0)^T, \xi_2 = (-2,3,0,1)^T}$

通解：$x = c_1(-2,3,1,0)^T + c_2(-2,3,0,1)^T$，$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$。

验证 $\xi_1$：$-2+3-1-0 = 0$ ✓，$2(-2)+3+1+0 = 0$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（求基础解系与通解，几乎每年必考）、选择题（基础解系的判定）
• 考查重点：基础解系的求法、通解的结构、含参数的讨论
• 命题趋势：常与非齐次方程组的通解结构、特征向量等综合考查
• 分值占比：约5-10分

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五、易错点

1. 基础解系的个数必须是 $n-r$：多一个少一个都不对。如果给出的向量个数不是 $n-r$，即使都是解也不是基础解系
2. 行最简形中自由变量的赋值：每个自由变量独立赋1，不要同时给多个自由变量赋非零值
3. 验证解的正确性：求完基础解系后，代入原方程组验证是最保险的做法

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第4章 §4.2
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第4章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第7讲