数学一

线性代数

相似矩阵与相似对角化

定位信息

• 章节：第五章 特征值与特征向量 §5.2
• 编号：MATH-LIN-19
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：核心高频考点，每年必考

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一、知识点讲解

19.1 相似矩阵的定义

设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得

$P^{-1}AP = B$

则称 $A$ 相似于 $B$，记 $A \sim B$。

19.2 相似矩阵的性质

若 $A \sim B$，则：

性质	公式
特征值相同	$|A - \lambda E| = |B - \lambda E|$
迹相同	$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$
行列式相同	$|A| = |B|$
秩相同	$r(A) = r(B)$
特征多项式相同	$f_A(\lambda) = f_B(\lambda)$

注意：以上性质是相似的必要条件，不是充分条件。两个矩阵迹、行列式、秩都相同，不一定相似。

19.3 相似对角化

定义：若 $A$ 相似于对角矩阵 $\Lambda$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$，则称 $A$ 可相似对角化。

$\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$

其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值，$P = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ 是对应的特征向量构成的矩阵。

19.4 相似对角化的条件

定理：$n$ 阶方阵 $A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

充分条件：$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。

充要条件（按重数）：$A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow$ 对每个 $k_i$ 重特征值 $\lambda_i$，$r(A - \lambda_i E) = n - k_i$（即 $\lambda_i$ 恰有 $k_i$ 个线性无关的特征向量）。

19.5 相似对角化的步骤

1. 求特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$
2. 对每个特征值求特征向量（基础解系）
3. 若总共得到 $n$ 个线性无关的特征向量 $\xi_1, \ldots, \xi_n$，则可对角化
4. $P = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$，$\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

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二、记忆辅助

1. 相似的本质："同一个线性变换在不同基下的矩阵" —— 相似矩阵表示同一个线性变换
2. 对角化条件：$n$ 个线性无关的特征向量 —— "每个特征值的几何重数 = 代数重数"
3. $P$ 和 $\Lambda$ 的对应：$P$ 的第 $i$ 列 $\xi_i$ 对应 $\Lambda$ 的第 $i$ 个对角元 $\lambda_i$ —— 列与对角元一一对应

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三、例题精解

例1：判断能否相似对角化并求 $P$

题目：$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$，判断 $A$ 能否相似对角化，若能，求 $P$ 和 $\Lambda$。

第一步：审题与分析 先求特征值，再判断每个特征值的线性无关特征向量个数。

第二步：选择方法 求特征方程 → 特征向量 → 判断对角化。

第三步：完整计算

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & 3-\lambda & -1 \\ 2 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$

按第1列展开：

$= (2-\lambda)\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} -1 & 1 \ 3-\lambda & -1 \end{vmatrix}$

$= (2-\lambda)[(3-\lambda)^2 + 1] + 2[1 - (3-\lambda)]$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 10) + 2(\lambda - 2)$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 10) - 2(2-\lambda)$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 8)$

$= (2-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda - 4)$

$= -(\lambda - 2)^2(\lambda - 4)$

特征值：$\lambda_1 = 2$（二重），$\lambda_2 = 4$（一重）。

$\lambda_1 = 2$：$A - 2E = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

行变换：$r_2 + r_1$：$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$r(A - 2E) = 2$，$n - r = 3 - 2 = 1$。但 $\lambda_1$ 的代数重数为2，几何重数为1，$1 \neq 2$。

$A$ 不能相似对角化！

第四步：验证与总结$\boxed{A \text{ 不能相似对角化}}$。原因：$\lambda = 2$ 是二重特征值，但只有1个线性无关的特征向量（几何重数 $<$ 代数重数）。

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例2：可对角化的情形

题目：$A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 0 \ -3 & -5 & 0 \ -3 & -6 & 1 \end{pmatrix}$，求 $P$ 和 $\Lambda$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$。

第一步：审题与分析 3阶矩阵，求特征值和特征向量。

第二步：选择方法 求特征方程 → 特征向量 → 构造 $P$。

第三步：完整计算

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 6 & 0 \\ -3 & -5-\lambda & 0 \\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)\begin{vmatrix} 4-\lambda & 6 \\ -3 & -5-\lambda \end{vmatrix}$

$= (1-\lambda)[(4-\lambda)(-5-\lambda) + 18] = (1-\lambda)(\lambda^2 + \lambda - 2) = (1-\lambda)(\lambda+2)(\lambda-1)$

$= -(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$

$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = -2$（一重）。

$\lambda_1 = 1$：$A - E = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \ -3 & -6 & 0 \ -3 & -6 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r = 1$，$n - r = 2$，几何重数 $= 2 =$ 代数重数 ✓

$\xi_1 = (-2, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (0, 0, 1)^T$

$\lambda_2 = -2$：$A + 2E = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 0 \ -3 & -3 & 0 \ -3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & -3 & 3 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\xi_3 = (-1, 1, 1)^T$

第四步：验证与总结

$\boxed{P = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}}$

验证 $AP$ 的第3列：$A(-1,1,1)^T = (2,-2,-2)^T = -2(-1,1,1)^T$ ✓

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（判断对角化+求 $P$ 和 $\Lambda$）、选择题（相似的性质判断）
• 考查重点：相似对角化的条件、求 $P$ 和 $\Lambda$ 的过程
• 命题趋势：含参数的对角化问题是高频解答题
• 分值占比：约8-12分

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五、易错点

1. 相似的必要条件不是充分条件：迹、行列式、秩相同不能推出相似
2. 几何重数 $\le$ 代数重数：一个 $k$ 重特征值最多有 $k$ 个线性无关的特征向量，可能更少
3. $P$ 与 $\Lambda$ 的对应顺序：$P$ 的第 $i$ 列必须与 $\Lambda$ 的第 $i$ 个对角元对应，顺序不能乱

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第5章 §5.2-§5.3
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第5章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第8讲