数学一

线性代数

合同变换与惯性定理

定位信息

• 章节：第六章 二次型 §6.2
• 编号：MATH-LIN-22
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：中频考点，约2-3年一次

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一、知识点讲解

22.1 合同矩阵的定义

设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使得

$C^TAC = B$

则称 $A$ 与 $B$ 合同，记 $A \simeq B$。

22.2 合同的性质

• 反身性：$A \simeq A$（取 $C = E$）
• 对称性：$A \simeq B \Rightarrow B \simeq A$
• 传递性：$A \simeq B, B \simeq D \Rightarrow A \simeq D$
• 合同 $\Rightarrow$ 等价（$r(A) = r(B)$）
• 实对称矩阵合同 $\Leftrightarrow$ 同秩且同惯性指数

22.3 三种关系的对比

关系	定义	条件强度	保持不变量
等价	$PAQ = B$（$P,Q$ 可逆）	最弱	秩
相似	$P^{-1}AP = B$（$P$ 可逆）	较强	特征值、迹、行列式、秩、特征多项式
合同	$C^TAC = B$（$C$ 可逆）	较强	秩、惯性指数

对实对称矩阵：相似 $\Leftrightarrow$ 合同 $\Leftrightarrow$ 有相同的特征值。

22.4 惯性定理

定理（惯性定理）：任何一个二次型 $f = x^TAx$ 都可以通过可逆线性变换化为标准形

$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ry_r^2$

其中 $r = r(A)$，且正系数的个数 $p$ 和负系数的个数 $q = r - p$ 是唯一确定的（与变换方法无关）。

• $p$：正惯性指数
• $q$：负惯性指数
• $s = p - q$：符号差
• $r = p + q$：秩

22.5 惯性指数的确定方法

方法一：化标准形后数正负系数个数。

方法二：计算特征值，正特征值个数 $= p$，负特征值个数 $= q$。

方法三：利用合同关系，$A$ 合同于 $\text{diag}(1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1, 0, \ldots, 0)$（$p$ 个1，$q$ 个 $-1$，$n-r$ 个0）。

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二、记忆辅助

1. 惯性定理核心：正负惯性指数是唯一确定的 —— "标准形不唯一，但正负个数唯一"
2. 合同 vs 相似：合同用 $C^T$，相似用 $P^{-1}$。对实对称矩阵，两者等价
3. 符号差：$s = p - q$，有时也定义为 $p - q$ 或 $2p - r$

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三、例题精解

例1：确定惯性指数

题目：求二次型 $f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 的正、负惯性指数。

第一步：审题与分析 写出矩阵，求特征值或化标准形。

第二步：选择方法 求特征值法。

第三步：完整计算

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

特征值：各列加到第1列，$(4-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2-\lambda & 1 \ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$

$= (4-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1-\lambda & 0 \ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda)^2$

$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = 4$（一重）。

所有特征值都为正，所以 $p = 3$，$q = 0$。

第四步：验证与总结$\boxed{p = 3, q = 0}$。$f$ 是正定二次型。

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例2：判断合同关系

题目：判断 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \end{pmatrix}$ 是否合同。

第一步：审题与分析 两个实对称矩阵，合同 $\Leftrightarrow$ 同秩且同惯性指数。

第二步：选择方法 比较秩和惯性指数。

第三步：完整计算

$r(A) = 2$，$r(B) = 2$。秩相同。

$A$ 的特征值为 $1, 2$（全正），$p_A = 2, q_A = 0$。

$B$ 的特征值为 $3, 4$（全正），$p_B = 2, q_B = 0$。

$p_A = p_B = 2$，$q_A = q_B = 0$，惯性指数相同。

第四步：验证与总结$\boxed{A \simeq B}$（合同）。实对称矩阵合同 $\Leftrightarrow$ 同秩且同惯性指数。

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（判断合同关系、惯性指数的计算）、填空题（符号差）
• 考查重点：惯性定理的理解、合同关系的判定
• 命题趋势：惯性指数常与正定性判断结合考查
• 分值占比：约3-5分

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五、易错点

1. 合同与相似的区别：一般矩阵相似不蕴含合同，合同也不蕴含相似。但实对称矩阵两者等价
2. 惯性指数的标准形不唯一：不同方法得到的标准形系数可能不同，但正负个数一定相同
3. 合同关系只对同阶矩阵定义：$A$ 和 $B$ 必须都是 $n$ 阶方阵才能讨论合同

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第6章 §6.2
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第6章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第10讲